Signaux

Question 1

Décomposition de Fourier de g, fonction T-périodique

Answer 1

g(t) = a₀ + Σan * cos(nωt) + bn * sin(nωt)

= d₀ + Σdn * cos(nωt + φn)

Question 2

Expression de an et bn dans la décomposition de Fourier de g

Answer 2

an = 2/T * ∫g(t) * cos(nωt)dt (intégrale entre -T/2 et T/2)
bn = 2/T * ∫g(t) * sin(nωt)dt (intégrale entre -T/2 et T/2)

Question 3

g paire, conséquence pour la série de Fourier

Answer 3

∀n∈ℕ, bn = 0

Question 4

g impaire, conséquence pour la série de Fourier

Answer 4

∀n∈ℕ*, an = 0

Question 5

a₀ dans la décomposition de Fourier de g

Answer 5

a₀ = valeur moyenne de g

Question 6

Rôle des hauts harmoniques et décroissance de an et bn

Answer 6

Les hauts harmoniques jouent un rôle important pour recomposer les fonctions irrégulières
Plus la fonction est régulière plus la décroissance est rapide

Question 7

Amplitude d’une raie sur le spectre de Fourier d’une fonction

Answer 7

Amplitude : √(an² + bn²) tend vers 0 en +∞

Question 8

Cas d’un signal périodique sur une durée finie Δt

allure du spectre

Answer 8

Spectre continue et non plus discret

La largeur à mi-hauteur Δω vérifie Δω * Δt ≈ 1

Question 9

Action d’un filtre linéaire sur une entrée e(t) = a₀ + Σan * cos(nωt) + bn * sin(nωt)

Answer 9

s(t) = H(0)*a₀ + Σ |H(nω)| [ an * cos(nωt+φ(nω)) + bn * sin(nωt+φ(nω)) ]

Question 10

Action d’un filtre passe-bas

Answer 10

La composante continue passe toujours
Les hauts harmoniques sont coupés (sortie plus régulière que l’entrée)
Pseudo-intégrateur si ω»ωc

Question 11

Action d’un filtre passe-haut

Answer 11

La composante continue est toujours coupée
Les hauts harmoniques passent toujours
Pseudo-dérivateur si ωc&raquo_space; ω

Question 12

Action d’un filtre passe-bande

Answer 12

La composante continue et les hauts harmoniques sont coupés
Q = fréquence de résonance / bande passante
Q&raquo_space; 1 : très sélectif, la sortie ressemble à un signal sinusoïdal

Question 13

Critère de Nyquist-Shannon

Answer 13

Pour échantillonner correctement un signal de fréquence allant jusqu’à fmax, il faut une fréquence d’échantillonnage fe > 2 * fmax
S’il est respecté, les raies de fréquence inférieure à fe/2 sont de vraies raies

Question 14

Exemple de fréquence d’échantillonnage

Answer 14

Téléphonie : échantillonnage à 8 kHz précédé d’un filtrage passe-bas à 3.4 kHz
Enregistrement musical de qualité : échantillonnage à 44.1 kHz

Question 15

Échantillonnage d’un signal s(t) = S₀ * cos(2πf*t)

Answer 15

S₀ * (p₀ * cos(2πf*t) + Σpn / 2 * [cos(2π(nfe+f)t) + cos(2π(nfe-f)t)]

Question 16

Décomposition en série de Fourier du signal créneau entre -1 et 1

Answer 16

g(t) = Σ4/nπ * sin(nωt)

On somme de 1 à +∞ sur n impair

Question 17

Technique du “zero-padding” (ou “zero-filling”)

Answer 17

Technique consistant à compléter une séquence initiale avec un nombre relativement important de valeurs nulles. Cela permet d’améliorer le tracé du spectre (résolution apparente) en augmentant artificiellement le nombre de points sur lequel est calculée la transformée de Fourier discrète.

Question 18

Puissance (moyenne) d’un signal

Answer 18

P = σ² + m²

Question 19

Puissance moyenne d’une sinusoïde

Answer 19

P = A²/2

où A est l’amplitude de la sinusoïde

Question 20

Rapport signal à bruit

Answer 20

rsb = P(signal utile) / P(bruit)
RSB = 10*log(rsb)  (en dB)

Question 21

Création d’un bruit blanc sur Matlab

Answer 21

t = 0:Te:1;  %axe du temps (Te est la période d’échantillonnage)
b = randn(size(t));  %bruit blanc gaussien
b = (b-mean(b))/std(b);  %bruit centré réduit

Question 22

Tracé les courbes s et sb en fonction du temps avec Matlab

Answer 22

figure(1)

plot(t,s,t,sb); grid; title(‘titre’); xlabel(‘légende de x’); ylabel(‘légende de y’); legend(‘courbe s’, ‘courbe sb’)

Question 23

Ajuster la puissance d’un bruit à x fois la puissance d’un signal s

Answer 23

E = sum(s.^2);
P = E/length(t);
b = b*sqrt(x*P);

Question 24

Lien entre échantillonnage et périodisation

Answer 24

Tout échantillonnage temporel s’accompagne d’une périodisation dans le domaine fréquentiel. Inversement tout échantillonnage dans le domaine fréquentiel entraîne une périodisation dans le domaine temporel.

Question 25

Classification des signaux

Answer 25

1) déterministes : évolution temporelle peut être décrite par un modèle mathématique (essentiellement rencontrés en laboratoire)
2) aléatoires : imprévisibles, ce sont la plupart des signaux physiques (sous classification en stationnaire ou non)

Autre classification possible selon l’énergie