Signaux Flashcards
Décomposition de Fourier de g, fonction T-périodique
g(t) = a₀ + Σan * cos(nωt) + bn * sin(nωt)
= d₀ + Σdn * cos(nωt + φn)
Expression de an et bn dans la décomposition de Fourier de g
an = 2/T * ∫g(t) * cos(nωt)dt (intégrale entre -T/2 et T/2) bn = 2/T * ∫g(t) * sin(nωt)dt (intégrale entre -T/2 et T/2)
g paire, conséquence pour la série de Fourier
∀n∈ℕ, bn = 0
g impaire, conséquence pour la série de Fourier
∀n∈ℕ*, an = 0
a₀ dans la décomposition de Fourier de g
a₀ = valeur moyenne de g
Rôle des hauts harmoniques et décroissance de an et bn
Les hauts harmoniques jouent un rôle important pour recomposer les fonctions irrégulières
Plus la fonction est régulière plus la décroissance est rapide
Amplitude d’une raie sur le spectre de Fourier d’une fonction
Amplitude : √(an² + bn²) tend vers 0 en +∞
Cas d’un signal périodique sur une durée finie Δt
allure du spectre
Spectre continue et non plus discret
La largeur à mi-hauteur Δω vérifie Δω * Δt ≈ 1
Action d’un filtre linéaire sur une entrée e(t) = a₀ + Σan * cos(nωt) + bn * sin(nωt)
s(t) = H(0)*a₀ + Σ |H(nω)| [ an * cos(nωt+φ(nω)) + bn * sin(nωt+φ(nω)) ]
Action d’un filtre passe-bas
La composante continue passe toujours
Les hauts harmoniques sont coupés (sortie plus régulière que l’entrée)
Pseudo-intégrateur si ω»ωc
Action d’un filtre passe-haut
La composante continue est toujours coupée
Les hauts harmoniques passent toujours
Pseudo-dérivateur si ωc»_space; ω
Action d’un filtre passe-bande
La composante continue et les hauts harmoniques sont coupés
Q = fréquence de résonance / bande passante
Q»_space; 1 : très sélectif, la sortie ressemble à un signal sinusoïdal
Critère de Nyquist-Shannon
Pour échantillonner correctement un signal de fréquence allant jusqu’à fmax, il faut une fréquence d’échantillonnage fe > 2 * fmax
S’il est respecté, les raies de fréquence inférieure à fe/2 sont de vraies raies
Exemple de fréquence d’échantillonnage
Téléphonie : échantillonnage à 8 kHz précédé d’un filtrage passe-bas à 3.4 kHz
Enregistrement musical de qualité : échantillonnage à 44.1 kHz
Échantillonnage d’un signal s(t) = S₀ * cos(2πf*t)
S₀ * (p₀ * cos(2πf*t) + Σpn / 2 * [cos(2π(nfe+f)t) + cos(2π(nfe-f)t)]
Décomposition en série de Fourier du signal créneau entre -1 et 1
g(t) = Σ4/nπ * sin(nωt)
On somme de 1 à +∞ sur n impair
Technique du “zero-padding” (ou “zero-filling”)
Technique consistant à compléter une séquence initiale avec un nombre relativement important de valeurs nulles. Cela permet d’améliorer le tracé du spectre (résolution apparente) en augmentant artificiellement le nombre de points sur lequel est calculée la transformée de Fourier discrète.
Puissance (moyenne) d’un signal
P = σ² + m²
Puissance moyenne d’une sinusoïde
P = A²/2
où A est l’amplitude de la sinusoïde
Rapport signal à bruit
rsb = P(signal utile) / P(bruit) RSB = 10*log(rsb) (en dB)
Création d’un bruit blanc sur Matlab
t = 0:Te:1; %axe du temps (Te est la période d’échantillonnage) b = randn(size(t)); %bruit blanc gaussien b = (b-mean(b))/std(b); %bruit centré réduit
Tracé les courbes s et sb en fonction du temps avec Matlab
figure(1)
plot(t,s,t,sb); grid; title(‘titre’); xlabel(‘légende de x’); ylabel(‘légende de y’); legend(‘courbe s’, ‘courbe sb’)
Ajuster la puissance d’un bruit à x fois la puissance d’un signal s
E = sum(s.^2); P = E/length(t); b = b*sqrt(x*P);
Lien entre échantillonnage et périodisation
Tout échantillonnage temporel s’accompagne d’une périodisation dans le domaine fréquentiel. Inversement tout échantillonnage dans le domaine fréquentiel entraîne une périodisation dans le domaine temporel.
Classification des signaux
1) déterministes : évolution temporelle peut être décrite par un modèle mathématique (essentiellement rencontrés en laboratoire)
2) aléatoires : imprévisibles, ce sont la plupart des signaux physiques (sous classification en stationnaire ou non)
Autre classification possible selon l’énergie
