Électromagnétisme

Question 1

Force de Coulomb (force exercée par une charge immobile q₁ placée en M₁ sur une charge immobile q₂ placée en M₂)

Answer 1

F = q₁*q₂/(4πε₀*r²) * ur
r = ||M₁M₂||
ur = M₁M₂/r

Question 2

Interprétation de Faraday

Answer 2

F = q*E(M)

où q est une charge placée en M

Question 3

Lien champ-potentiel

Answer 3

E = -grad(V)
Pour un ensemble de charges ponctuelles :
V(M) = ∑ qᵢ / (4πε₀*rᵢ)

Question 4

Champ créé par N charges ponctuelles

Answer 4

E(M) = 1/(4πε₀) * ∑ qᵢ*uᵢ / (rᵢ)² (en V.m-1)
avec rᵢ = ||MᵢM||
uᵢ = MᵢM / rᵢ

Question 5

Théorème de Gauss (électrostatique)

Answer 5

Pour toute surface fermée, le flux de champ électrostatique au travers de cette surface vaut la charge contenue à l’intérieur divisée par ε₀
∯ E.dSext = qint / ε₀

Question 6

Théorème de Gauss gravitationnel

Answer 6

∯ g.dSext = -4πG*mint

Question 7

Dipôle électrique : moment dipolaire

Answer 7

p = q*NP (en C.m)

p et NP sont des vecteurs

Question 8

Potentiel créé par un dipôle électrostatique

Answer 8

V(M) = pcosθ / (4πε₀r²) = p.ur / (4πε₀*r²)

avec p le moment dipolaire

Question 9

Équation de Maxwell-Thomson

Answer 9

B est à flux conservatif : div B = 0

Question 10

Équation de Maxwell-Gauss

Answer 10

Théorème de Gauss : div E = ρ/ε₀

Question 11

Équation de Maxwell-Faraday

Answer 11

Induction, rot E = - ∂B/∂t

Question 12

Équation de Maxwell-Ampère

Answer 12

rot B = μ₀j + μ₀ε₀*∂E/∂t

j est un vecteur et j = ∑ρᵢvᵢ = ∑nᵢqᵢ*vᵢ

Question 13

Équation locale de conservation de la charge

Answer 13

div j + ∂ρ/∂t = 0

Question 14

Théorème de Green-Ostrogradski

Answer 14

Le flux du vecteur A au travers d’une surface fermée, orientée S vaut l’intégrale triple sur le volume de div A
∯ A•dSext = ∫∫∫div A dτ

Question 15

Théorème de Stokes-Ampère

Answer 15

La circulation de A le long d’une courbe fermée orientée C vaut le flux de rot A au travers de S (S s’appuyant sur C)
∮A•dl = ∫∫(rot A)•dSext

Question 16

Équation de Poisson du potentiel

Answer 16

ΔV + ρ/ε₀ = 0
avec ΔV = div(grad V) = Laplacien V
Δf = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² + ∂²f/∂z² (en coordonnées cartésiennes)

Question 17

E = - grad V (équivalence)

Answer 17

<=> rot E = 0

Question 18

Capacité d’un condensateur plan

Answer 18

C = Q/U = ε₀*S/e

Question 19

Champ magnétique créé par un solénoïde ∞

Answer 19

Bext = 0
Bint = μ₀In*uz
avec n le nombre de spires par unité de longueur

Question 20

Champ magnétique créé par un fil ∞

Answer 20

B = μ₀I/(2πr) * uθ

Question 21

Champ magnétique créé par un fil cylindrique de rayon a

Answer 21

r ≥ a : μ₀*I/(2πr) * uθ

r < a : μ₀Ir/(2πa²) * uθ

Question 22

Puissance volumique donnée par le champ e.m à la matière

Answer 22

Pvol = ρ*E.v = j.E

Question 23

Loi d’Ohm locale

Conséquence pour la puissance volumique donnée par le champ e.m à la matière dans le cas des conducteurs ohmiques

Answer 23

j = σE    (j et E sont des vecteurs et σ la conductivité du milieu en Ω⁻¹.m⁻¹)
Pvol = σE²

Question 24

Énergie stockée dans un condensateur

Answer 24

Ue = 0.5CU² = 0.5ε₀E² * V

Question 25

Inductance d’une bobine

Answer 25

L = μ₀hπ(n²)(R²)

avec n le nombre de spires par unité de longueur et h la longueur

Question 26

Énergie stockée dans une bobine

Answer 26

Um = 0.5LI² = B²/(2μ₀) * V

Question 27

Vecteur de Poynting (déf, unité, expression)

Answer 27

π tel que le flux de π au travers de la surface S soit égal à la puissance e.m rayonnée au travers de S
∫∫π•dS = Pray
Unité de π : W.m⁻²
π = [E (vect) B] / μ₀

Question 28

Bilan local d’énergie e.m

Answer 28

∂uem/∂t + div π + j.E = 0

avec uem = 0.5(ε₀E² + B²/μ₀) densité d’énergie électromagnétique

Question 29

Théorème d’Ampère (en statique)

Answer 29

∮B.dl = μ₀*Ienlacé
La circulation du champ magnétique B le long d’une courbe C quelconque, orientée et fermée, que l’on appelle contour d’Ampère, est égale au produit de μ₀ et de la somme algébrique des courants qui traversent la surface délimitée par C (courants enlacés)

Question 30

Le circuit enlace un courant volumique j : intensité enlacée

Answer 30

Ienlacée = ∫∫j.dS

Question 31

Symétrie pour B

Answer 31

Si une distribution de courants admet un plan de symétrie P alors c’est un plan d’antisymétrie pour B. En particulier si M est dans P, B(M) est orthogonal à ce plan.

Question 32

Antisymétrie pour B

Answer 32

Si une distribution de courants admet un plan P d’antisymétrie alors c’est un plan de symétrie pour B. En particulier si M est dans P, B(M) est contenu dans P.

Question 33

Symétrie pour E

Answer 33

Si P plan de symétrie des charges et M dans P, E(M) est contenu dans P

Question 34

Antisymétrie pour E

Answer 34

Si P plan d’antisymétrie des charges et M dans P, E(M) est orthogonal à P

Question 35

Champ E entre deux potentiels séparés de d

Answer 35

E ≈ ΔV / d

Question 36

Définition d’une ligne de champ, condition pour tracer une carte de champ et trois propriétés de la carte de champ

Answer 36

Ligne de champ : courbe qui en tout point M est // à E(M) (elle est orientée)
Condition pour tracer une carte de champ : E doit rester // au plan de la carte (il suffit de prendre un plan de symétrie des charges)
1) V décroît strictement le long d’une ligne de champ
2) Une ligne de champ ne se referme jamais sur elle-même
3) Les lignes de champs sont perpendiculaires aux équipotentielles

Question 37

Dipôle électrique placé dans un champ uniforme : couple subi et énergie potentielle.
Valable dans le cas d’un champ non uniforme ?

Answer 37

Γ = p∧E
Ep = -p.E
où p est le moment dipolaire
Ces relations restent valables dans le cas d’un champ non uniforme.

Question 38

Force de Laplace

Answer 38

dF = i*dl∧B
F = q*v∧B

Question 39

Moment dipolaire pour un dipôle magnétique et champ engendré par ce dipôle

Answer 39

m = I*S (S est orientée)
B = (μ₀*m/4πr³) (2cosθ ur + sinθ uθ + 0 uz)

Question 40

Dipôle magnétique placé dans un champ uniforme : couple subi et énergie potentielle.
Valable dans le cas d’un champ non uniforme ?

Answer 40

Γ = m∧B
Ep = -m.B
où m est le moment dipolaire
Ces relations restent valables dans le cas d’un champ non uniforme.

Question 41

Présence de charges surfaciques : relation entre le champ au dessus et celui en dessous de la surface

Answer 41

E(z>0) - E(z<0) = σ/ε₀ uz

Question 42

Présence de courants surfaciques : relation entre le champ au dessus et celui en dessous de la surface

Answer 42

B(z>0) - B(z<0) = μ₀j ∧ uz