Électromagnétisme Flashcards
Force de Coulomb (force exercée par une charge immobile q₁ placée en M₁ sur une charge immobile q₂ placée en M₂)
F = q₁*q₂/(4πε₀*r²) * ur r = ||M₁M₂|| ur = M₁M₂/r
Interprétation de Faraday
F = q*E(M)
où q est une charge placée en M
Lien champ-potentiel
E = -grad(V)
Pour un ensemble de charges ponctuelles :
V(M) = ∑ qᵢ / (4πε₀*rᵢ)
Champ créé par N charges ponctuelles
E(M) = 1/(4πε₀) * ∑ qᵢ*uᵢ / (rᵢ)² (en V.m-1)
avec rᵢ = ||MᵢM||
uᵢ = MᵢM / rᵢ
Théorème de Gauss (électrostatique)
Pour toute surface fermée, le flux de champ électrostatique au travers de cette surface vaut la charge contenue à l’intérieur divisée par ε₀
∯ E.dSext = qint / ε₀
Théorème de Gauss gravitationnel
∯ g.dSext = -4πG*mint
Dipôle électrique : moment dipolaire
p = q*NP (en C.m)
p et NP sont des vecteurs
Potentiel créé par un dipôle électrostatique
V(M) = pcosθ / (4πε₀r²) = p.ur / (4πε₀*r²)
avec p le moment dipolaire
Équation de Maxwell-Thomson
B est à flux conservatif : div B = 0
Équation de Maxwell-Gauss
Théorème de Gauss : div E = ρ/ε₀
Équation de Maxwell-Faraday
Induction, rot E = - ∂B/∂t
Équation de Maxwell-Ampère
rot B = μ₀j + μ₀ε₀*∂E/∂t
j est un vecteur et j = ∑ρᵢvᵢ = ∑nᵢqᵢ*vᵢ
Équation locale de conservation de la charge
div j + ∂ρ/∂t = 0
Théorème de Green-Ostrogradski
Le flux du vecteur A au travers d’une surface fermée, orientée S vaut l’intégrale triple sur le volume de div A
∯ A•dSext = ∫∫∫div A dτ
Théorème de Stokes-Ampère
La circulation de A le long d’une courbe fermée orientée C vaut le flux de rot A au travers de S (S s’appuyant sur C)
∮A•dl = ∫∫(rot A)•dSext
Équation de Poisson du potentiel
ΔV + ρ/ε₀ = 0
avec ΔV = div(grad V) = Laplacien V
Δf = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² + ∂²f/∂z² (en coordonnées cartésiennes)
E = - grad V (équivalence)
<=> rot E = 0
Capacité d’un condensateur plan
C = Q/U = ε₀*S/e
Champ magnétique créé par un solénoïde ∞
Bext = 0
Bint = μ₀In*uz
avec n le nombre de spires par unité de longueur
Champ magnétique créé par un fil ∞
B = μ₀I/(2πr) * uθ
Champ magnétique créé par un fil cylindrique de rayon a
r ≥ a : μ₀*I/(2πr) * uθ
r < a : μ₀Ir/(2πa²) * uθ
Puissance volumique donnée par le champ e.m à la matière
Pvol = ρ*E.v = j.E
Loi d’Ohm locale
Conséquence pour la puissance volumique donnée par le champ e.m à la matière dans le cas des conducteurs ohmiques
j = σE (j et E sont des vecteurs et σ la conductivité du milieu en Ω⁻¹.m⁻¹) Pvol = σE²
Énergie stockée dans un condensateur
Ue = 0.5CU² = 0.5ε₀E² * V
Inductance d’une bobine
L = μ₀hπ(n²)(R²)
avec n le nombre de spires par unité de longueur et h la longueur
Énergie stockée dans une bobine
Um = 0.5LI² = B²/(2μ₀) * V
Vecteur de Poynting (déf, unité, expression)
π tel que le flux de π au travers de la surface S soit égal à la puissance e.m rayonnée au travers de S
∫∫π•dS = Pray
Unité de π : W.m⁻²
π = [E (vect) B] / μ₀
Bilan local d’énergie e.m
∂uem/∂t + div π + j.E = 0
avec uem = 0.5(ε₀E² + B²/μ₀) densité d’énergie électromagnétique
Théorème d’Ampère (en statique)
∮B.dl = μ₀*Ienlacé
La circulation du champ magnétique B le long d’une courbe C quelconque, orientée et fermée, que l’on appelle contour d’Ampère, est égale au produit de μ₀ et de la somme algébrique des courants qui traversent la surface délimitée par C (courants enlacés)
Le circuit enlace un courant volumique j : intensité enlacée
Ienlacée = ∫∫j.dS
Symétrie pour B
Si une distribution de courants admet un plan de symétrie P alors c’est un plan d’antisymétrie pour B. En particulier si M est dans P, B(M) est orthogonal à ce plan.
Antisymétrie pour B
Si une distribution de courants admet un plan P d’antisymétrie alors c’est un plan de symétrie pour B. En particulier si M est dans P, B(M) est contenu dans P.
Symétrie pour E
Si P plan de symétrie des charges et M dans P, E(M) est contenu dans P
Antisymétrie pour E
Si P plan d’antisymétrie des charges et M dans P, E(M) est orthogonal à P
Champ E entre deux potentiels séparés de d
E ≈ ΔV / d
Définition d’une ligne de champ, condition pour tracer une carte de champ et trois propriétés de la carte de champ
Ligne de champ : courbe qui en tout point M est // à E(M) (elle est orientée)
Condition pour tracer une carte de champ : E doit rester // au plan de la carte (il suffit de prendre un plan de symétrie des charges)
1) V décroît strictement le long d’une ligne de champ
2) Une ligne de champ ne se referme jamais sur elle-même
3) Les lignes de champs sont perpendiculaires aux équipotentielles
Dipôle électrique placé dans un champ uniforme : couple subi et énergie potentielle.
Valable dans le cas d’un champ non uniforme ?
Γ = p∧E
Ep = -p.E
où p est le moment dipolaire
Ces relations restent valables dans le cas d’un champ non uniforme.
Force de Laplace
dF = i*dl∧B F = q*v∧B
Moment dipolaire pour un dipôle magnétique et champ engendré par ce dipôle
m = I*S (S est orientée) B = (μ₀*m/4πr³) (2cosθ ur + sinθ uθ + 0 uz)
Dipôle magnétique placé dans un champ uniforme : couple subi et énergie potentielle.
Valable dans le cas d’un champ non uniforme ?
Γ = m∧B
Ep = -m.B
où m est le moment dipolaire
Ces relations restent valables dans le cas d’un champ non uniforme.
Présence de charges surfaciques : relation entre le champ au dessus et celui en dessous de la surface
E(z>0) - E(z<0) = σ/ε₀ uz
Présence de courants surfaciques : relation entre le champ au dessus et celui en dessous de la surface
B(z>0) - B(z<0) = μ₀j ∧ uz
