Mécanique Flashcards
Moment en A de F
AM (vectoriel) F (en Nm)
où M est le pt mat où s’applique F
Moment en A de F est nul si (3 cas)
1) La force est nulle
2) il est calculé au point d’application de la force (A = M)
3) la direction de la force est parallèle au vecteur AM
Norme du moment en A de F
|| MA(F) || = || AM || * || F || * | sin θ | où θ est l’angle entre les vecteurs F et AM
MΔ(F)
MΔ(F) = MA(F) . u
où u est le vecteur directeur de Δ
Moment cinétique par rapport à A
σA = AM (vectoriel) p (en Js)
où M est le point mat et p est son vecteur quantité de mouvement
Loi du moment cinétique
d(σA)/dt = MA(Fext)
Moment cinétique d’un solide en translation
σA = AG (vectoriel) ptot
ptot étant la quantité de mouvement totale du solide
Moment cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe Δ
σΔ = (JΔ) * Ω
où Ω est la vit angulaire et JΔ le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe Δ
Théorème de Huygens
Dans un solide de centre de masse G, si on note JΔG le moment d’inertie par rapport à un axe qui passe par G, alors le moment d’inertie JΔ par rapport à un axe parallèle qui passe à une distance d de G est JΔ = JΔG + md²
d(er)/dt
d(er)/dt = dθ/dt * eθ
d(eθ)/dt
d(eθ)/dt = - dθ/dt * er
Première loi de Kepler
Les planètes du système solaire décrivent des trajectoires elliptiques, dont le Soleil occupe l’un des foyers.
Deuxième loi de Kepler
Dans un mouvement à force centrale, des aires égales sont balayées en des temps égaux
<=> dθ/dt * r² = constante (dA/dt = 0.5*constante)
Troisième loi de Kepler
Le carré de la période est proportionnel au cube du demi grand axe
T² = 4π² * a^3 * 1/GM
Force F est conservative (3 équivalences)
F dérive d’une Ep (Ɐdl, δW = F.dl = - dEp)
<=> F = - grad Ep
<=> son travail ne dépend pas du chemin suivi
(dA/dt) dans R
= dA/dt dans R’ + ω (vect) A
où ω vecteur vitesse angulaire de R’ par rapport à R
Mouvement de deux référentiels galiléens l’un par rapport à l’autre
Translation rectiligne uniforme
Principe fondamental de la dynamique en référentiel R quelconque
ma(M) dans R = Forces vraies + Force d’inertie d’entraînement (= - mae) + Force d’inertie de Coriolis (= - m*ac)
Théorème de l’énergie cinétique
ΔEc = Wforces vraies (+ Wforces d’inertie)
La force de Coriolis ne travaille pas
Vitesse pour deux référentiels en translation
v(M) dans R = v(O’) dans R + v(M) dans R’
v(M) dans R => vitesse absolue
v(O’) dans R => vitesse d’entraînement
v(M) dans R’ => vitesse relative
Accélération pour deux référentiels en translation
a(M) dans R = a(O’) dans R + a(M) dans R’
Vitesse pour deux référentiels en rotation
v(M) dans R = ω (vect) OM (= rω*uθ) + v(M) dans R’
v(M) dans R => vitesse absolue
ω (vect) OM => vitesse d’entraînement
v(M) dans R’ => vitesse relative
Accélération pour deux référentiels en rotation
a(M) dans R = -ω² HM + a(M) dans R’ + 2*ω (vect) v(M) dans R’
H est le projeté orthogonal de M sur l’axe de rotation
a(M) dans R => accélération absolue
-ω² HM => accélération d’entraînement [ = ω (vect) (ω (vect) OM) ]
a(M) dans R’ => accélération relative
2*ω (vect) v(M) dans R’ => accélération de Coriolis
Poussée d’Archimède et force de rappel élastique
Pa = - ρ(fluide) * V(déplacé) * g
Frappel = - k*Δl
où Δl est l’élongation
Lien entre v, r et Ω
v = r*Ω
p (quantité de mouvement) en mécanique relativiste
p = m*v / √(1 - v²/c²)
Travail d’une force F
δW = F.dr W(M1→M2) = ∫F.dr
Puissance d’une force F
P = δW/dt = F.v (en Watt)
Énergie cinétique
Ec = 0.5mv² = 0.5JΩ² (rotation autour d’un axe fixe)
Énergie potentielle (pesanteur, ressort, gravitation)
Pesanteur : mgz
Ressort : 0.5k(Δl)²
Gravitationnelle : -GmM / d
Équilibre stable
<=> n’est pas rompu par une petite perturbation
<=> d²Ep/dλ² > 0
Théorème de l’énergie (et puissance) mécanique
ΔEm = Wnc dEm/dt = Pnc
Force de Lorentz
F = q*(E + v (vect) B)
Puissance d’un couple
Si l’objet est en rotation sous l’action d’un couple C et tourne à la vitesse angulaire instantanée Ω alors la puissance instantanée vaut (en watts) : P = C.Ω
Attention un couple est homogène à un moment !!!
Pendule pesant : tige de masse m, longueur l, peut tourner sans frottements autour d’une de ses extrémités fixée en O. Équation différentielle en θ, réaction du support, équation différentielle en θ si O en mouvement horizontal selon x(t) = x₀*cos(ωt).
On donne Joz = 1/3 * m * l²
1) d²θ/dt² + 3/2 * g/l * sinθ = 0
2) Rr = -ml/2 * (dθ/dt)² - mgcosθ
Rθ = ml/2 * d²θ/dt² + mgsinθ
Rz = 0
3) d²θ/dt² + 3/2 * g/l * sinθ - 3/2l * x₀ω²cos(ωt)cosθ = 0
