Proba Flashcards
Un système complet d’événements est
est une partition (Ai)i∈I de Ω, où I un ensemble fini.
Ω=U Ai et ∀(i,j)∈I2 distincts,Ai ∩Aj =∅
i∈I
On appelle probabilité sur Ω
une application P : P (Ω) → [0, 1] vérifiant (axiomes de Kolmogorov) :
un événement est
tout sous-ensemble A ∈ P (Ω)
soit Ω un ensemble fini de cardinal n. La loi donnée par
∀ω∈Ω, P({ω})= 1 / n
les événements élémentaires sont équiprobables. Cette probabilité est appelée probabilité uniforme, et tout événement A admet alors pour probabilité :
P (A) est le quotient du “nombre de cas favorables” par le “nombre de cas possibles” P (A) = #A / #Ω
Si (A1 , . . . , An ) est un système complet d’événements non négligeables, alors
Formule des probabilités totales :
P (B) = P (B ∩ A1) + · · · + P (B ∩ An)
ou
P (B) = P (B|A1) P (A1) + · · · + P (B|An) P (An)
On suppose que (A1, . . . , An) est une famille d’événements telle que P (A1 ∩ · · · ∩ An) ̸= 0. Alors
Formule des probabilités composées :
P(A1 ∩···∩An) = P(A1)×P(A2|A1)×P(A2|A1 ∩A2)×···×P(An|A1 ∩···∩An−1)
Formule de Bayes soit (A1 , . . . , An ) un système complet d’événements non négligeables. Alors pour tout événement B et pour tout j ∈ [[1, n]] :
P(Aj|B)= P(B|Aj)×P(Aj)
∑P (B|Ai) × P (Ai)
i=1 à n
soit (Ai)i∈I une famille finie d’événements.
On dit que les événements Ai sont mutuellements indépendants lorsque
∀J⊂I, P ∩ Aj = ∏P(Aj)
j∈J
Attention : si les Ai sont deux à deux indépendants, ils ne le sont pas forcément mutuellement
on appelle variable aléatoire réelle
Une application
X:Ω→R
Soit X:Ω→R, on appelle support de X
L’ensemble X (Ω) des valeurs prises par X : X (Ω) = {x1,…,xn}
on appelle loi de probabilité de la v.a.r X
P:X(Ω)→[0,1]
P (x)=P(X =x)
On dit que X et Y sont indépendantes lorsque
P((X =x)∩(Y =y))=P(X =x)×P(Y =y)
On appelle expérance de X ou moyenne de X le réel
Et E(λX +Y) =
E(X) =( somme des x∈X (Ω) de) x.P(X = x)
E(ω) = ( somme des ω∈Ω de) (X(ω).P({ω})
E(λX +Y) = λE(X)+E(Y)
Formule du transfert
E(f(X))= ∑f(x)P(X =x)= ∑ f(xi)P(X =xi)
x∈X (Ω) i=1
si X et Y sont indépendantes, alors E(XY )
si X et Y sont indépendantes, alors E(XY ) = E(X)E(Y )
On appelle variance de X le réel positif
écart-type de X
V(X)=E (X−E(X))^2
σ (X) = (V (X))^1/2
Formule de Huygens : V (X ) =
V (X ) =E (X ^2 ) − E (X )^2
V(aX + b) = a^2V(X)
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
∀ε>0, P(|X−E(X)|ε) V(X) /ε^2
On dit que X suit la loi uniforme sur E et on note X → U (E) lorsque
X(Ω)=E et ∀n∈[[1,n]],P(X=xn)=1/n
E(X)=n+1/2 et V(X)=n^2−1/ 12
On dit que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p et on note X → B(p) lorsque
X (Ω) = {0,1} et P (X = 1) = p P (X = 0) = 1 − p = q
E(X)=p et V(X)=pq
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p et on note X →B(n,p)
X(Ω)=[[1,n]] et ∀k∈[[1,n]], P(X=k)= (k parmi n) p^k * (1−p)^n−k = (k parmi n) p^k * q^n−k
Soient X1 , . . . , Xn n variables aléatoires indépendantes suivant chacune la même loi de Bernoulli B (p) AlorslavariableY =X1 +···+Xn
suit la loi binomiale B(n,p)
