Polynomes

Question 1

Décomposition : X^2−2cosθX+1=

Answer 1

􏰌(X−ei^θ)(􏰍􏰌X−e−i^θ􏰍)

Question 2

X^n−1=

Answer 2

(X−1)( X−e ^2iπ/n) … (X−e ^2i(n−1)π /n)

Question 3

σ=α1+···+αn : la somme des racines

Answer 3

σ = − a(n−1)/an

Question 4

π = α1 ···αn : le produit des racines

Answer 4

π = (−1)^n* a0 /an

Question 5

Tout polynôme non constant de C[X] …

Answer 5

est scindé sur C

Question 6

a est racine d’ordre k de P ⇐⇒

Answer 6

􏰒 P(a)=P′(a)=···=P(k−1)(a)=0 
P(k) (a) =! 0
ou
(X − a)^k divise P
(X − a)^k+1 ne divise pas P

Question 7

Taylor en a

Answer 7

􏰕n
P(X)= Somme (P(k)(a)/ k!) *(X−a)^k où n=degP
k=0.