Espace euclidien Flashcards
matriciellement, on a
(X/Y) = trX.Y
∥x∥ =
√ ⟨x / x⟩
identité de polarisation : (x/y) =
⟨x/y⟩= 1/4 ( ∥x+y∥^2 −∥x−y∥^2)
identité du parallélogramme : ∥x∥^2 +∥y∥^2 =
= 1/2 ( ∥x+y∥^2 +∥x−y∥^2) ==> somme des 2 id.rem
(i) Inégalité de Cauchy-Schwarz : |⟨x/y⟩| inf ou égal à
|⟨x/y⟩| inf ou égal à ∥x∥ ∥y∥
les vecteurs x et y sont dits orthogonaux lorsque
⟨x/y⟩ = 0
deux sous-espaces vectoriels F et G sont dits orthogonaux lorsque
∀x∈F,∀y∈G, ⟨x/y⟩=0
On appelle orthogonal de F l’ensemble
F⊥ ={x∈E/∀y∈F, ⟨x/y⟩=0}
On dit que F ⊥ est LE supplémentaire orthogonal de F.
(e1 , . . . , ep ) est orthonormale si et seulement si
∀(i,j) ∈ [[1,p]]^2 , ⟨ei/ej⟩ = δi,j
Coordonnées dans une BON :soit B = (e1,…,en) une BON de E. Alors pour tout vecteur x ∈ E
n
x=∑ ⟨x/ei⟩ei
i=1
La matrice de passage P d’une base orthonormée à une base orthonormée vérifie :
tPP = In ⇐⇒A−1 = tA
