Espace vecto Flashcards
Un sous-espace vectoriel F de E est …
un sous ensemble de E contenant 0 de E et stable par combinaisons linéaires
càd 0 de E∈F et ∀(x,y)∈F^2,∀λ∈K,λx+y∈F
Une application linéaire f de E dans F (où F est un K-ev) est une application vérifiant :
∀(x,y)∈E^2, ∀λ∈K, f(λx+y)=λf(x)+f(y)
Le noyau de f est
le sous ensemble de E des antécédents de 0F par f
càd : ker f = {x ∈ E / f (x) = 0 de F }
==> C’est un sous espace vectoriel de E.
L’image de f est
le sous ensemble de F des images par f de tous les éléments de E
càd : Im f = {f (x) , x ∈ E}
==>C’est un SEV de F et y ∈ Im f ⇐⇒ ∃x ∈ E / y = f (x)
Un endomorphisme de E est
une application linéaire de E dans E
Un isomorphisme de E sur F est
une application linéaire bijective
Une forme linéaire sur E est
une application linéaire de E dans K (à valeurs numériques)
(e1 , . . . , en ) est dite génératrice si
n
∀x∈E, ∃(λ1,…,λn)∈K^n /x= ∑ λiei
i=1
(e1 , . . . , en ) est dite liée lorsque
n
∃(λ1,…,λn) ∈ K {(0,…,0)} /x= ∑ λiei = 0 de E
i=1
B est une base de E revient à dire que
B est libre et génératrice de E.
(e1 , . . . , en ) est une base de E lorsque
n
∀x∈E, ∃!(λ1,…,λn)∈K^n /x= ∑ λiei
i=1
L’espace engendré par x1, . . . , xn (éléments de E) est :
l’ensemble des combinaisons linéaires de x1, . . . , xn :
vect(x1,…,xn)
C’est un sous espace vectoriel de E, le plus petit contenant x1, . . . , xn
La somme de deux sous espaces vectoriels F et G de E est
l’ensemble des sommes d’éléments de F et G :
F + G = {xF + xG, xF ∈ F, xG ∈ G}
C’est un sous espace vectoriel de E , le plus petit contenant F et G.
E = F ⊕ G (F et G sont supplémentaires dans E) signifie que
tout vecteur de E se décompose de manière
unique en somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de G:
∀x∈E, ∃!(xF,xG)∈F ×G/x=xF +xG
On suppose E=F⊕G : Le projecteur p sur F parallèlement à G est tel que
si x=xF +xG, xF ∈F, xG ∈G, alors p(x)=xF
On suppose E=F⊕G : La symétrie s par rapport à F parallèlement à G est telle que :
et si p et q sont les projecteurs associés à la décomposition E = F ⊕ G
s(x) = xF - xG
s=p−q=2p−idE =idE−2q
Un endomorphisme f est inversible dans L(E) si
∃g ∈ L (E) / f ◦ g = g ◦ f = idE
càd : f est bijective, càd un automorphisme de E de réciproque g.
im(f+g) ? imf + img
im(f+g) ⊂ imf + img
g◦f =0 L(E,G) ⇐⇒
g◦f =0 L(E,G) ⇐⇒Imf ⊂kerg
kerf ? kerg◦f
kerf⊂kerg◦f
Img◦f ? Img
Img◦f⊂Img
f est inversible ⇐⇒
f est inversible ⇐⇒ ∃g∈L(E)/f◦g=g◦f=idE ⇐⇒f est bijective de réciproque f−1 =g
éléments caractéristiques d’un projecteur :
Espace de projection : Imp = ker(p − idE)
Direction : ker p
soit E = Im p ⊕ ker p
soit s une symétrie alors :
s^2=id et s=s^-1
éléments caractéristiques d’une symétrie :
Espace de symétrie : ker (s − idE ) (points fixes)
Direction : ker(s+idE)
soit E = ker(s−idE)⊕ker(s+idE)
un hyperplan est
Si E dimension finie n, hyperplan espace vecto de dim :
le noyau d’une forme linéaire non nulle.
dim n-1, et réciproquement
tout espace de dimension n-1 (issu d’un espace E de dim n) est :
le noyau d’une forme linéaire : un hyperplan
une application de la forme h =λidE s’appelle une
homothétie
Une application peut être dite linéaire si elle s’écrit sous la forme (avec matrice A) :
Si A est carrée (A ∈ Mn (K)) , alors fA est :
Si A est une ligne (A ∈ Mn1 (K)) , alors fA est
fA: Kp→Kn
X → fA (X) = AX où A ∈ Mnp (K)
Si A est carrée (A ∈ Mn (K)) , alors fA est un endomorphisme de Rn
Si A est une ligne (A ∈ Mn1 (K)) , alors fA est une forme linéaire sur Rn
Formule de Grassmann : Soit E
un espace vectoriel de dimension finie et soient F,G
deux sous-espaces vectoriels de E
. Alors
dim(F+G)=dim(F)+dim(G)−dim(F∩G).
Théorème de la base incomplète : Si E
est de dimension finie
Si E est de dimension finie, alors toute famille libre de E
peut-être complétée en une base de E. Pour la compléter, il suffit de considérer certains vecteurs d’une famille génératrice de E
Théorème de la base extraite : De toute famille génératrice finie de E, on peut
on peut extraire une base de E. En particulier, un espace de dimension finie admet une base.
Soient E,F 2 espaces vectoriels et soit u∈L(E,F). Alors, si S
est un supplémentaire de ker(u) dans E,
u induit un isomorphisme de S sur Im(u).
