Espace vecto

Question 1

Un sous-espace vectoriel F de E est …

Answer 1

un sous ensemble de E contenant 0 de E et stable par combinaisons linéaires
càd 0 de E∈F et ∀(x,y)∈F^2,∀λ∈K,λx+y∈F

Question 2

Une application linéaire f de E dans F (où F est un K-ev) est une application vérifiant :

Answer 2

∀(x,y)∈E^2, ∀λ∈K, f(λx+y)=λf(x)+f(y)

Question 3

Le noyau de f est

Answer 3

le sous ensemble de E des antécédents de 0F par f
càd : ker f = {x ∈ E / f (x) = 0 de F }
==> C’est un sous espace vectoriel de E.

Question 4

L’image de f est

Answer 4

le sous ensemble de F des images par f de tous les éléments de E
càd : Im f = {f (x) , x ∈ E}
==>C’est un SEV de F et y ∈ Im f ⇐⇒ ∃x ∈ E / y = f (x)

Question 5

Un endomorphisme de E est

Answer 5

une application linéaire de E dans E

Question 6

Un isomorphisme de E sur F est

Answer 6

une application linéaire bijective

Question 7

Une forme linéaire sur E est

Answer 7

une application linéaire de E dans K (à valeurs numériques)

Question 8

(e1 , . . . , en ) est dite génératrice si

Answer 8

n
∀x∈E, ∃(λ1,…,λn)∈K^n /x= ∑ λiei
i=1

Question 9

(e1 , . . . , en ) est dite liée lorsque

Answer 9

n
∃(λ1,…,λn) ∈ K {(0,…,0)} /x= ∑ λiei = 0 de E
i=1

Question 10

B est une base de E revient à dire que

Answer 10

B est libre et génératrice de E.

Question 11

(e1 , . . . , en ) est une base de E lorsque

Answer 11

n
∀x∈E, ∃!(λ1,…,λn)∈K^n /x= ∑ λiei
i=1

Question 12

L’espace engendré par x1, . . . , xn (éléments de E) est :

Answer 12

l’ensemble des combinaisons linéaires de x1, . . . , xn :
vect(x1,…,xn)
C’est un sous espace vectoriel de E, le plus petit contenant x1, . . . , xn

Question 13

La somme de deux sous espaces vectoriels F et G de E est

Answer 13

l’ensemble des sommes d’éléments de F et G :
F + G = {xF + xG, xF ∈ F, xG ∈ G}
C’est un sous espace vectoriel de E , le plus petit contenant F et G.

Question 14

E = F ⊕ G (F et G sont supplémentaires dans E) signifie que

Answer 14

tout vecteur de E se décompose de manière
unique en somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de G:
∀x∈E, ∃!(xF,xG)∈F ×G/x=xF +xG

Question 15

On suppose E=F⊕G : Le projecteur p sur F parallèlement à G est tel que

Answer 15

si x=xF +xG, xF ∈F, xG ∈G, alors p(x)=xF

Question 16

On suppose E=F⊕G : La symétrie s par rapport à F parallèlement à G est telle que :
et si p et q sont les projecteurs associés à la décomposition E = F ⊕ G

Answer 16

s(x) = xF - xG

s=p−q=2p−idE =idE−2q

Question 17

Un endomorphisme f est inversible dans L(E) si

Answer 17

∃g ∈ L (E) / f ◦ g = g ◦ f = idE

càd : f est bijective, càd un automorphisme de E de réciproque g.

Question 18

im(f+g) ? imf + img

Answer 18

im(f+g) ⊂ imf + img

Question 19

g◦f =0 L(E,G) ⇐⇒

Answer 19

g◦f =0 L(E,G) ⇐⇒Imf ⊂kerg

Question 20

kerf ? kerg◦f

Answer 20

kerf⊂kerg◦f

Question 21

Img◦f ? Img

Answer 21

Img◦f⊂Img

Question 22

f est inversible ⇐⇒

Answer 22

f est inversible ⇐⇒ ∃g∈L(E)/f◦g=g◦f=idE ⇐⇒f est bijective de réciproque f−1 =g

Question 23

éléments caractéristiques d’un projecteur :

Answer 23

Espace de projection : Imp = ker(p − idE)
Direction : ker p
soit E = Im p ⊕ ker p

Question 24

soit s une symétrie alors :

Answer 24

s^2=id et s=s^-1

Question 25

éléments caractéristiques d’une symétrie :

Answer 25

Espace de symétrie : ker (s − idE ) (points fixes)
Direction : ker(s+idE)
soit E = ker(s−idE)⊕ker(s+idE)

Question 26

un hyperplan est

Si E dimension finie n, hyperplan espace vecto de dim :

Answer 26

le noyau d’une forme linéaire non nulle.

dim n-1, et réciproquement

Question 27

tout espace de dimension n-1 (issu d’un espace E de dim n) est :

Answer 27

le noyau d’une forme linéaire : un hyperplan

Question 28

une application de la forme h =λidE s’appelle une

Answer 28

homothétie

Question 29

Une application peut être dite linéaire si elle s’écrit sous la forme (avec matrice A) :
Si A est carrée (A ∈ Mn (K)) , alors fA est :

Si A est une ligne (A ∈ Mn1 (K)) , alors fA est

Answer 29

fA: Kp→Kn
X → fA (X) = AX où A ∈ Mnp (K)
Si A est carrée (A ∈ Mn (K)) , alors fA est un endomorphisme de Rn
Si A est une ligne (A ∈ Mn1 (K)) , alors fA est une forme linéaire sur Rn

Question 30

Formule de Grassmann : Soit E
un espace vectoriel de dimension finie et soient F,G
deux sous-espaces vectoriels de E
. Alors

Answer 30

dim(F+G)=dim(F)+dim(G)−dim(F∩G).

Question 31

Théorème de la base incomplète : Si E

est de dimension finie

Answer 31

Si E est de dimension finie, alors toute famille libre de E
peut-être complétée en une base de E. Pour la compléter, il suffit de considérer certains vecteurs d’une famille génératrice de E

Question 32

Théorème de la base extraite : De toute famille génératrice finie de E, on peut

Answer 32

on peut extraire une base de E. En particulier, un espace de dimension finie admet une base.

Question 33

Soient E,F 2 espaces vectoriels et soit u∈L(E,F). Alors, si S
est un supplémentaire de ker(u) dans E,

Answer 33

u induit un isomorphisme de S
 sur Im(u).