nombres réels bornes supérieure et inférieure

Question 1

Majorants, minorants

Answer 1

Soit A une partie de R.
– Un élément M ∈ R est un majorant de A si et seulement si ∀ x ∈ A, x ≤ M.
– Un élément m ∈ R est un minorant de A si et seulement si ∀ x ∈ A, x ≥ m.
– On dit que A est majorée si A admet un majorant.
– On dit que A est minorée si A admet un minorant.
– On dit que A est bornée si A est majorée et minorée

Question 2

Maximum

Answer 2

On dit que M ∈ R est un maximum de A si
– M ∈ A,
– ∀ x ∈ A, x ≤ M.

Question 3

minimum

Answer 3

On dit que m est un minimum de A si
– m ∈ A,
– ∀ x ∈ A, x ≥ m.

Question 4

borne supérieure

Answer 4

– On appelle borne supérieure de A, si elle existe, le plus petit des majorants de A.
On la note sup (A).

Question 5

borne inférieure

Answer 5

– On appelle borne inférieure de A, si elle existe, le plus petit des minorants de A.
On la note inf (A).

Question 6

caractérisation de sup(A)

Answer 6

1 Soit A ⊂ R . La borne supérieure de A est l’unique réelsup (A), tel que
1. ∀x ∈ A, x ≤ sup (A).
2. ∀ε > 0, ∃x0 ∈ A tel que x0 > sup (A) − ε.

Question 7

caractérisation de la borne inférieure

Answer 7

Soit A ⊂ R . La borne inférieure de A est l’unique réel inf (A), tel que
1. ∀x ∈ A, x ≥ inf (A).
2. ∀ε > 0, ∃x0 ∈ A tel que inf (A) + ε > x0.