introduction aux nombres complexes

Question 1

les 4 propriétés des nombres complexes

Answer 1

1. C contient R.
2. Cest muni d’une addition et d’une multiplication qui suivent les mêmes règles
   de calcul que dans R.
3. C contient un nombre noté i tel que
   i² = −1.
4. Tout nombre complexe z admet une unique écriture sous la forme
   z = x + iy

Question 2

forme algébrique du nombre z

Answer 2

z = x + iy

Question 3

partie réel notée Re(z) de z

Answer 3

x

Question 4

la partie imaginaire du nombre z notée Im(z) de z

Answer 4

y

Question 5

quand est ce qu’un imaginaire est considéré imaginaire pur et réel

Answer 5

si y = 0, le nombre z est dit réel et si x = 0 le nombre z est dit imaginaire
pur.

Question 6

comment l’ensemble des imaginaires purs est notée

Answer 6

iR = {z = x + iy : x = 0 et y ∈ R} .

Question 7

opposé de z

Answer 7

−z = −a − ib.

Question 8

la multiplication par un scalaire

Answer 8

λ ∈ R : λz = λa + i(λb).

Question 9

l’inverse de z

Answer 9

(z 6= 0) est le nombre complexe
1/z=a − ib/a² + b²
.

Question 10

La multiplication de z par z

Answer 10

z × z’ = aa’ − bb’ + i(ab’+ a’b).

Question 11

– La division

Answer 11

, (z’ 6= 0) est le nombre complexe z ×1/z’
.

Question 12

définition du conjugué

Answer 12

Soit z = x + iy un nombre complexe, on appelle nombre complexe conjugué de
z le nombre complexe z = x−iy.

Question 13

les 4 propriétés de la conjugaison avec z1 et z2 deux nombres complexes

Answer 13

non(z1 + z2) = ¯z1 + ¯z2,
non(z1 − z2) = ¯z1 − z¯2,
non(z1z2) = ¯z1z¯2,
non(z1/z2)=z¯1/z¯2
, pour tout z2 6= 0,
∀n ∈ N, non(zn) = (non(z))n

Question 14

def module d’un nombre complexe

Answer 14

Soit z = x + iy un nombre complexe, on appelle module de z le nombre réel
|z| =sqrt(x² + y²).

Question 15

les 8 propriétés du module d’un nombre complexe

Answer 15

1. zz¯ = |z|².
2. |z¯| = |z|.
3. |z| = 0 ⇔ z = 0.
4. |z1 z2| = |z1||z2| et ∀n ∈ N, |z1n| = |z1|n.
5. Pour tout z 6= 0,|1/z| = 1/|z|.
6. Pour tout z2 6= 0,|z1/z2|=|z1|/|z2|
7. |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| (inégalité triangulaire).
8. ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|.