ensembles

Question 1

ensemble vide

Answer 1

1 L’ensemble vide, noté ∅, est défini comme étant l’ensemble vérifiant x 6∈
E, pour tout objet x.

Question 2

Appartenance

Answer 2

Soient E un ensemble et x un objet de E. 0n dit alors que x est un élément de E ou
x appartient à E et on écrit x ∈ E.

Question 3

Inclusion E C F

Answer 3

∀x ∈ E,(x ∈ E ⇒ x ∈ F)

Question 4

On dit que E n’est pas inclus dans F, on note E 6⊂ F, s’il existe au moins un élément
de E qui n’appartient pas à F.

Answer 4

E 6⊂ F ⇔ ∃x ∈ E, x 6∈ F.

Question 5

E et F sont égaux

Answer 5

E = F ⇔ (E ⊂ F et F ⊂ E).

Question 6

ensemble des parties d’un ensemble

Answer 6

Soit E un ensemble. On appelle partie ou sous-ensemble de E tout ensemble F vérifiant F ⊂ E. L’ensemble des parties de E est noté P(E).

Question 7

intersection

Answer 7

A ∩ B = {x ∈ E, x ∈ A et x ∈ B}

Question 8

les 5 propriétés intersection

Answer 8

Soient A, B, C trois parties de E. Alors,
– A ∩ B ⊂ A et A ∩ B ⊂ B.
– A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A.
– A ∩ ∅ = ∅,
A ∩ A = A,
A ∩ E = A.
– A ∩ B = B ∩ A.
– A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Question 9

Union

Answer 9

A ∪ B = {x ∈ E, x ∈ A ou x ∈ B}

Question 10

5 propriétés union

Answer 10

Soient A, B, C trois parties de E. Alors,
– A ⊂ A ∪ B et B ⊂ A ∪ B.
– A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B.
– A ∪ ∅ = A, A ∪ A = A.
– A ∪ B = B ∪ A.
– A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.

Question 11

2 propriétés entre l’union et l’intersection

Answer 11

Soient A, B, C trois parties de E. Alors,
1. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
2. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Question 12

complémentaire

Answer 12

E C F = {x ∈ E, x 6∈ F}

Question 13

4 propriété complémentaire

Answer 13

Soit E un ensemble. Alors

1. ∅ C E = E,
2. E C E = ∅,
3. F ∩ F C E = ∅,
4. F ∪ F C E = E.

Question 14

loi de morgan

Answer 14

non(A∪B) = non(A) ∩ non(B)
non(A∩B) = non(A) ∪ non(B)

Question 15

différence

Answer 15

Soient F et G deux parties de E
F\G = {x ∈ E, x ∈ F et x 6∈ G} .

Question 16

Produit cartésien

Answer 16

Soient E et F deux ensembles. Le produit cartésien de E par F, noté
E × F, est l’ensemble des couples (x, y) où x ∈ E et y ∈ F.