les nombres réels propriétés de R

Question 1

Relation d’ordre

Answer 1

Soit A un ensemble muni d’une relation d’ordre ≤. A est dit totalement ordonné si :
∀(x, y) ∈ A², on a x ≤ y ou y ≤ x.

Question 2

propriétés inéquations :
soient a,b et c trois réels

Answer 2

1. a ≤ b ⇔ a + c ≤ b + c.
2. Si a ≤ b et c ≥ 0, alors ac ≤ bc.
3. Si a ≤ b et c ≤ 0, alors ac ≥ bc.
4. Si 0 < a ≤ b ou a ≤ b < 0, alors 1/b ≥ 1/a.
5. ∀(a, b) ∈ R², ab ≤ 1/2(a²+b²).

Question 3

partie entière

Answer 3

Soit x ∈ R. Il existe un unique entier relatif, noté E(x), tel que :
E(x) ≤ x ≤ E(x) + 1.
E(x) s’appelle partie entière de x.

Question 4

propriétés valeur absolue

Answer 4

Soit(x, y) ∈ R
2
. On a
1. |x| ≥ 0 et | − x| = |x|.
2. |x| = 0 ⇔ x = 0.
3. |xy| = |x||y|.
4. Si x 6= 0,|1/x|=1/|x|.
5. Si a ∈ R+, |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a.
6. |x|² = x².
7. |x + y| ≤ |x| + |y| (Inégalité triangulaire).
8. ||x| − |y|| ≤ |x − y|.

Question 5

x appartient a [a; b]

Answer 5

{x ∈ R, a ≤ x ≤ b}

Question 6

[a; b[

Answer 6

{x ∈ R, a ≤ x < b}

Question 7

]a; b],

Answer 7

{x ∈ R, a < x ≤ b}

Question 8

]a; b[,

Answer 8

{x ∈ R, a < x < b}

Question 9

]a; +∞[,

Answer 9

{x ∈ R, x ≥ a}

Question 10

=]a; +∞[,

Answer 10

{x ∈ R, x > a}

Question 11

] − ∞; b],

Answer 11

{x ∈ R, x ≤ b}

Question 12

] − ∞; b[,

Answer 12

{x ∈ R, x < b}

Question 13

=] − ∞; +∞[.

Answer 13

R

Question 14

Voisinage d’un point de R

Answer 14

Une partie V de R est un voisinage d’un point x0 de R si, et seulement
si, il existe un intervalle ouvert de centre x0 inclus dans V .