Nombres complexes Flashcards
Introduction
Exemple d Question : résoudre l’équation x^22 = 1.
R ́eponse :
Si x^2 E R, alors il n’existe pas de solution.
Si x^2 E C, alors il existe une solution.
Que représente C ?
Définitions et règles de calcul dans C
Principe:
On note C l’ensemble des nombres complexes. Un nombre complexe se représente sous la forme
Z = a + bi
où a e t b sont des réels et i
est un symbole tel que i^2 = -1 .
Théorème:
Deux nombres complexes
Z = a + bi et Z’ = a’ + b’i sont égaux si et seulement si a=a’ et b=b’.
Les règles de calcul (la multiplication et l’addition) sont les mêmes que dans R, en remplaçant i^2 par -1
Représentation géométriques des nombres complexes
Munissons le plan d’un repère orthonormé (O, i , j ).
Principe:
A tout nombre complexe Z = a + bi, on peut associer le point M(a;b).
Vocabulaire:
Le point M(a;b) s’appelle image du nombre complexe Z = a + bi.
Le nombre complexe Z = a + bi s’appelle l’a xe du point M(a;b). On note souvent Z = affixe(M) ou Z = aff(M).
Autre interprétation:
On peut également associer à chaque nombre complexe Z = a + bi le vecteur
w (a;b) = OM, ce vecteur w s’appelle le vecteur image du nombre complexe Z.
Conjugué d’un nombre complexe. Inverse d’un nombre complexe non nul
Vocabulaire
Le nombre complexe conjugué de Z = a + ib est le nombre complexe Z = a - ib.
On dit que Z et - /Z sont des nombres complexes conjugués.
Propriété:
Re(Z) = Re(Z)
Z réel <=> Z = - /Z
Z imaginaire pur <=> Z = - /Z
Z /Z=a^2+b^2
/(Z+W)= /Z + /W
/(ZW) = /Z . /W
Module et argument d’un nombre complexe
Définition:
On appelle module d’un nombre complexe Z = a + ib la quantité positive
racine de (a^2 + b^2) notée | Z |
Si Z est l’a xe d’un point M(a;b), le module n’est autre que la distance OM: OM = |Z|.
Définition:
On appelle argument d’un nombre complexe Z non nul toute mesure en radians de l’angle (i ,OM). On le note téta= arg(Z) (avec tan(téta) = a ).
Remarque:
Un nombre complexe possède une infinité d’arguments! Si téta est un argument de Z, tout autre argument de Z est de la forme téta + 2kpi (k E Z).
Différentes formes d’écriture d’un nombre complexe
Théorème:
Si Z = r (cos téta + i sin téta) avec r > 0 alors r = |Z | et téta = arg (Z )(2pi).
Définition:
Pour tout réel téta, on note e^itéta le nombre complexe cos téta + i sin téta. |e^itéta| = 1 et arg(e^itéta) = téta(2pi)
Formules de De Moivre et formules d’Euler
Théorème (formule de De Moivre):
Soit Z = r ( c o s Téta + i s i n Téta ) = re^itéta , Z ̄ = r ( c o s téta - i s i n téta ) = re^-itéta . Pour tout n E Z
Z^n =[r(costéta+isintéta)]^n =r^n(cos ntéta+isin ntéra)=r^n e^intéta
/Z^n = [r(costéta i sintéta)]^n = r^n(cos ntéta i sin ntéta) = r^ne ^intéta
Théorème (Formules d’Euler)
On sait que e^itéta = costéta+isintéta et e^- itéta = costéta - isintéta.
Les formules d’Euler sont :
costéta = eîtéta + e^-itéta/2
sin téta = eîtéta - e^-itéta/2
Les racines n^e d’un nombre complexe
Soit z = r (cos téta + i sin téta).
Les racines n^e de z
- sont tous les nombres qui vérifient w^n = z
- les racines de w^n = z sont données par la formule :
w =r^1/n[cos(téta+2kpi/n)+isin(téta+2kpi)]=r^1/n e^i(téta+2kpi) pour tout k= 0,…, n-1 - le nombre des racines de w^n = z est n racines
exemple
Quelques propriétés des nombres complexes
Théorème:
Pour tout nombre complexe Z= a+ib et Z’ =a’+ib’ ona:
/(Z + Z’) = /Z ̄ + /Z’ /-Z = -/Z /(ZZ’)= /Z/Z’ /(Z^n) = /Z^n /(Z/Z’) = /Z / /Z’
Théorème (propriétés des modules):
Pour tous nombres complexes Z et Z’:
Module d’un produit :|Z x Z’| = |Z| x|Z’|. En particulier si & est réel :
| &Z|=| $|x |Z|
Module d’un quotient : |Z/Z’|= |Z|/ |Z’| (lorsque Z’# 0)
Inégalités triangulaire : |Z + Z’| < ou =|Z| + |Z’|.
Quelques propriétés des nombres complexes
Théorème (Propriétés des arguments)
arg(Z ̄) = -arg(Z) (2pi).
arg( Z) = arg(Z) + pi (2pi).
arg ( - /Z ) = pi - arg ( Z ) ( 2pi ) .
Théorème (Propriétés des arguments)
arg ( Z ) = 0 (<=> Z E R
arg(Z.Z’) = arg(Z) + arg(Z’)(2pi)
arg(Z/Z’)= arg(Z) - arg(Z’)(2pi)
arg ( Z ) = pi/2 <=> Z est un imaginaire pur
arg(Z^n) = n arg(Z)(2pi) pour tout n
arg( 1/Z ) = -arg(Z)(2pi).
Norme d’un vecteur complexe
Remarque:
Lorsqu’on transpose un vecteur complexe z ou une matrice A, on doit prendre le conjugué complexe.
/z^T =[/z1…/zn]
La longueur d’un vecteur complexe z est la racine carrée de (/z^T) z = ||z||^2
Matrice hermitienne
Une matrice hermitienne est une matrice carrée avec des élèments complexe qui vérifie la propriété suivante:
la matrice est égale à la matrice transposée conjuguée qui est la matrice transposée de la matrice conjuguée.
Donc, A=(/A^)^T
Une matrice symétrique réelle est thermicienne, car tout les composant sont réelle et ne vont pas changer)
ex: (/A)^T= (A)^T= A, car est est symétrique. donc hermitienne
Les éléments complexes font parties de R (réelle)
