Diagonalisation Flashcards
Introduction: Motivation
Les systèmes dynamiques sont les concepts mathématiques qui permettent d’étudier des phénomènes qui se développent au fil du temps.
Ces phénomènes proviennent de la physique, de la chimie, de la mécanique, de la biologie ou de l’environnement, ce système se compose d’un espace de phases, l’espace des états possibles du phénomène convenablement paramétré, muni d’une loi d’évolution qui d’écrit la variation temporelle de l’état du système.
C’est le mathématicien Henri Poincaré qui, dès la fin du 19ème siècle, a mis en évidence l’imprévisibilité d’un système de trois corps en interaction.
Maintenant sa théorie est utilisée dans de très nombreux domaines : géophysique, météorologie, astronomie, turbulence, économie, sociologie, et biologie.
Définition valeurs et vecteur propres
Soit V un espace vectoriel et T une application linéaire T : V -> V
v |-> T( ~v )
S’il existe un scalaire & E R et un vecteur non-nul u tel que
T ( u ) = &u
alors u est nommé vecteur propre et la valeur propre associée au vecteur propre u.
Interprétation géométrique
Dilatation: & > 1
Contraction: 0< &< 1
Inversion: &= -1
Exemple 1 à 5
Les vecteurs propres et valeurs propres en termes matriciels
Définition:
Soit A une matrice carrée n ⇥ n. On appelle vecteur propre de A tout vecteur non nul x tel que
Ax = & x
pour un certain réel &.
& est nommée la valeur propre associée au vecteur propre x.
Remarque:
Pour une valeur propre donnée, il existe une infinité de vecteurs propres.
Exemple
Existance de valeurs et vecteurs propres
Théorème 1:
Les valeurs propres d’une matrice triangulaire (supérieur ou inférieur) sont les coefficients de sa diagonale principale.
Exemple
Remarque:
Le scalaire est une valeur propre de A si et seulement si l’équation
(A - &
Notations 5.2 : équation est Polynôme caractéristique
1) P( &) = det(A - &
Motivation 5.3 diagonalisation
Nous avons associé à chaque transformation linéaire une matrice canonique (ou représentative) qui dépend des vecteurs de la base canonique. Étant donné qu’on utilise cette matrice pour effectuer des opérations matricielles, il est préférable qu’elle soit diagonale.
Définition 5.3 diagonalisation
Deux matrices A et D sont appelées matrices semblables s’il existe une matrice inversible P telle que D=P ^-1AP ou A = PDP ^-11
Deux matrices semblables représentent la même application linéaire dans des bases différentes. Elles ont les mêmes caractéristiques:
1) det(A) = det(D)
2) trace(A) = trace(D), notons que trace(A) (resp. trace(D)) est la somme
des éléments de la diagonale de A (resp. D).
3) rang(A) = rang(D), notons que rang(A) (resp. rang(D)) est la dimension de l’espace engendré par l’ensemble des vecteurs colonnes de A (resp. D).
4) A et D ont le même polynôme caractéristique et ainsi les mêmes valeurs propres.
Définition 5.3 diagonalisation
Une matrice carrée A est diagonalisable, s’il existe une matrice inversible P telle que P ^-11AP est une matrice diagonale, on dit que P diagonalise A.
Théorème 4:
Soit A une matrice carrée d’ordre n.
A est diagonalisable si et seulement si A possède n vecteurs propres linéairement indépendants.
La matrice P dont les colonnes sont les n vecteurs propres linéairement indépendant diagonalise la matrice A avec A = PDP ^-1, ou la matrice D est une matrice diagonale avec comme éléments diagonaux les valeurs propres de A associées respectivement aux colonnes de P.
Exemple diapo 20
Remarque
A est diagonalisable si et seulement si elle admet su ffisament de vecteurs propres pour former une base de R^n
Théorème 5:
Soit A une matrice carrée d’ordre n ayant toutes ses valeurs propres réelles. A est diagonalisable si et seulement si chaque valeur propre est telle que sa multiplicité algébrique est égale à sa multiplicité géométrique. MA(&)= MG (&)
Théorème et remarque 5.3
Théorème 6:
Toute matrice carrée d’ordre n admettant n valeurs propres distinctes est diagonalisable.
exemple
Remarque:
Si toutes les valeurs propres de A sont réelles et distinctes, alors A est diagonalisable et les multiplicités algébrique et géométrique de chaque valeur propre sont égales à 1.
Par contre, lorsque P( &) a des racines multiples ou complexes, on ne peut rien conclure a priopri.
Exemple 1
Exemple 2
5.4 vecteurs propres et applications linéaires
Théorème 7:
Soit T : V |-> V une application linéaire et A sa matrice représentative.
U est un vecteur propre associé à la valeur propre de A si et seulement si A U = ? U ( <=> ( A - &I ) U = 0 ) .
Exemple
Théorème 8:
Soit T : V |-> V une application linéaire et A sa matrice représentative. & est une valeur propre de A si et seulement si det(A -&
