Chapitre 1 Application linéaire Flashcards
Introduction
Jusqu’à présent, l’équation matricielle AX = B est utilisée pour représenter un système d’equations linéaires.
Mais, l’équation AX = B représente aussi la transformation du vecteur X en un vecteur B, par la matrice A.
Définitions et propriétés
Soit T une fonction d’un espace vectoriel V à un espace vectoriel W .
T : V -> W
v -> T ( v )
T est appelée une application linéaire si, u E V , v E V et k E R:
T(u + v) = T(u) + T(v)
T(ku) = kT(u)
Les conditions (1) et (2) sont équivalentes à la condition (3):
T(u + kv) = T(u) + kT(v) (3)
exemple:
1) application nulle
2) Application identité (ou identique)
3) L’homothétie
4) T: V^2 (n) -> V^3 (m)
Théorème
Si T : V -> V est une application linéaire, alors:
1) T(0)=0
2) T( u) = T(u), u E V
3) T (kiui) = kiT(ui), ki E R, ui E V ,i=1,···,n.
Non application linéaire:
T : R2 -> R
v = (x,y) -> T(v) = xe^y
Représentation matricelle
Définition:
Soit T : Rn -> Rm une application linéaire définie. Alors
T ( x ) = Ax , x E R^n -> T ( X ) = AX
oû
A= [ T(e1) T(e2) … T(en)]
est la matrice représentative de l’application linéaire T, nommée matrice canonique, dans la base canonique E = (e1,e2 ,··· ,en ) avec ei la colonne i de
la matrice identité de dimension n.
Remarque:
La représentation matricielle d’une application linéaire dépend de la base choisie.
- À toute matrice, on peut associer une application linéaire.
Exemple
Opération sur les applications linéaires
Si T1 et T2 sont deux applications linéaires définies sur V , oû A1 et A2 sont leurs matrices représentatives par rapport à la base canonique B, alors
1) P = $ T1 est une application linéaire oû $ est un scalaire donné,
avec P(u) = $T1(u), u E V
et sa matrice est AP = $ A1
2) S = T1 + T2 est une application linéaire, avec
S(u) = T1(u) + T2(~), u E V et sa matrice est AS = A1 +A2
3) La composition de T1 et T2, notée T1 rond T2, est une application linéaire, avec
(T1 rond T2)(u) = T1 (T2(u)), u E V
et sa matrice est AT1 rond T2 = A1A2
Remarque: En général, T1 rond T2 pas égal à T2 rond T1
Transformations linéaires géométriques de R^2
1) Réflexion X1
2) Réflexion X2
3) Réflexion X2= X1
4) Réflexion X2= -X1
5) Réflexion autour de l’origine
6) Contraction et expansion horizontal
7) Contraction et expansion verticale
8) parallélogramme horizontale
9) parallélogramme verticale
10) Projection sur X1
11) Projection sur X2
Surjective
On dit qu’une application T : Rn -> Rm est surjective si tout vecteur de Rm est l’image d’au moins un vecteur de Rn
Injective
On dit qu’une application T : Rn -> Rm est injective si tout vecteur de Rm est l’image d’au plus un vecteur de Rn
Problème d’existence et d’unicité
Théorème: Soit T : Rn -> Rm est une application linéaire. Alors T est injective si et seulement si l’équation T (x) = 0 admet la solution triviale.
Théorème:
Soit T : Rn -> Rm une application linéaire et A est la matrice canoniquement associé à T. Alors
T est surjective si et seulement si les colonnes de A engendrent Rm (image ImA, les colonnes pivots, lignes pivots)
T est injective si et seulement si les colonnes de A sont linéairement indépendantes. Toutes les colonnes sont pivots KerA= 0
Théorème:
On dit qu’une application linéaire T : Rn -> Rn est inversible si et seulement si elle est bijective (injective et surjective). Alors, il existe une fonction S : Rn -> Rn telle que
1) S(T(x)) = x pour tout vecteur x de R^n.
2) T(S(x)) = x pour tout vecteur x de R^n.
L’application S est appelée inverse ou réciproque de T et notée T^ -1.
Théorème:
Soit T : Rn -> Rn une application linéaire et A la matrice canoniquement associé à T. Alors T est inversible si et seulement si A est une matrice inversible. L’application linéaire S définie par S(x) = A ^-1x est l’unique fonction vérifiant les relations 1 et 2.
Théorème de caractérisation des matrices inversibles
Soit A une matrice carrée n -> n. Les propriétés sont équivalentes.
1) A est inversible.
2) A admet n positions de pivot.
3) L’équation Ax = 0 admet la solution triviale pour unique solution.
4) Les colonnes de A sont linéairement indépendantes.
5) L’application linéaire x -> Ax est injective.
6) Pour tout vecteur b de Rn, l’équation Ax = b admet au moins une solution.
7) Les colonnes de A engendrent Rn .
8) L’application x -> Ax est surjective.
Application à l’infographie
L’infographie consiste à a fficher des images fixes ou animées sur un écran, elle consiste donc à effectuer une ou plusieurs transformations linéaires.
exemple
Remarque:
Une image peut être décomposée en un ensemble de points et de segments. Dans ce cas, on doit garder en mémoire quels sommets sont reliées entre eux, puisque si les points P1 et P2 sont reliées, alors leurs images le sont aussi.
On utilise une matrice A, nommée matrice d’adjacence, pour garder les liens entre les sommets, oû A = [aij ]nxm telle que aij = 1 si le sommet i est relié au sommet j et 0 sinon.
Matrice de rotation dans l’espace
3 types (x, y et z)diapo 20
Exemple 1
Exemple 2
Important sur les coordonnées homogène
Une translation n’est pas une transformation linéaire. En effet, l’image de l’origine n’est pas l’origine, mais l’extrémité finale du vecteur qui définit la translation.
Par conséquent, si on désire représenter une translation à l’aide d’un produit matriciel, on doit utiliser les coordonnées homogènes.
Définition:
Le système de coordonnées homogènes du point (x,y) E R2 est le triplet
(x, y, 1) E R3 et le système de coordonnées homogènes du point (x, y, z) E R3 est (x,y,z,1) E R4.
* Dans le plan, la translation T définie par T(x,y) = (x + h,y + k) est représentée comme suit :
- Dans l’espace, la translation T définie par T(x,y,z) = (x + h,y + k,z + l) est représentée comme suit:
Remarque:
Toute transformation linéaire de T est représentée en coordonnées homogènes
par … oû Amxn est la matrice de la transformation linéaire.
Exemple
Exemple
Exercice
