Chapitre 1 équations linéaires

Question 1

Système d’équations linéaires (SEL)?

Answer 1

un ensemble d’une ou plusieurs équations linéaires aux mêmes inconnues x1, x2,…, xn

Question 1

Équation linéaire?

Answer 1

C’est une équation linéaire d’inconnues x1,x2,…, xn une équation linéaire que l’on peut mettre sous la forme a1x1 + a2x2 +…+anxn = b oû b et les coefficients a1,a2,…, an sont des nombres réels ou complexes. a1=coefficient et x1= input

Question 2

Solution du système

Answer 2

Toute liste (s1, s2,…, sn) de nombres qui vérifie le SEL (toutes les équations). Si 3 inconnues et 2 équations soit pas de solution ou une infinité de solution.

Question 3

Absurdité

Answer 3

Pour aire que le système est incompatible, quand en résolvant on trouve une absurdité (ex: 0=1) et le système n’admet pas de solution

Question 4

Les lignes

Answer 4

si parallèle: pas de solution

si confondu: infinité de solution

si sécante: 1 solution

pour 3 inconnues (espace R^3): on a des plans (triplets coordonnées)

Question 5

Résolution d’un système d’équations linéaires

Answer 5

1) Pas de solution (le SEL est incompatible)

2) Une solution unique (le SEL est compatible)

3) Une infinité de solution (le SEL est compatible)

Question 6

Une matrice échelonnée

Answer 6

Une matrice rectangulaire est dite sous forme échelonnée si elle vérifie les trois propriétés suivantes:

1. Toutes les lignes non nulles sont au-dessus de toutes les lignes nulles.
2. Le coefficient principal de chaque ligne se trouve dans une colonne située
   à droite de celle du coefficient principal de la ligne au-dessus d’elle.
3. Tous les coefficients situés dans une colonne en dessous d’un coefficient
   Principal sont nuls.

Les opérations entre les lignes du SEL produit un SEL équivalent (m ensemble de solutions)

Résolution du bas vers le haut

Question 7

Matrice échelonnée réduite (Gauss Jordan)

Answer 7

Une matrice rectangulaire est dite sous forme échelonnée réduite est une matrice échelonnée et si elle vérifie en outre les deux propriétés suivantes:

4. Le coefficient principal de chaque ligne non nulle est égal à 1.
5. Les coefficients principaux (égaux à 1) sont les seuls éléments non nuls de leurs colonnes.

On veut annuler tout ce qui est hors de la diagonale et on obtient une matrice identité.

Question 8

Théorème 1: unicité de la forme échelonnée réduite

Answer 8

Toute matrice est équivalente selon les lignes à une seule matrice échelonnée réduite.

Question 9

Pivot

Answer 9

Dans une matrice échelonnée (pas réduite sinon ce serait tous des 1), le pivot (coefficient prinicipal) d’une ligne est le premier élément non nul de cette ligne.

Si on n’a pas de pivot nul, il ne peut pas y avoir d’absurdité (rien de …= 0) ( condition de compatibilité)

Question 10

Position de pivot

Answer 10

On appelle position de pivot d’une matrice A, l’emplacement dans A correspondant à un coefficient principal (égal à 1) de la forme échelonnée réduite de A.

Question 11

Colonne pivot

Answer 11

On appelle colonne pivot une colonne de A contenant une position de pivot.

Question 12

Théorème 2: Théorème d’existence et d’unicité

Answer 12

Un système linéaire est compatible si et seulement si la colonne de droite de la Matrice complète n’est pas une colonne pivot, c’est-à-dire si et seulement si une forme échelonnée de la matrice complète n’a aucune ligne de la forme

0 …0𝑏avec𝒃nonnul

Si un système linéaire est compatible, alors l’ensemble des solutions contient soit
i. une solution unique
ii. une infinité de solution

Question 13

L’algorithme du pivot de Gauss

Answer 13

1. Écrire la matrice complète du système
2. Appliquer la méthode du pivot pour obtenir une matrice complète
   équivalente sous forme échelonnée. Déterminer si le système est compatible.
   S’il n’y a pas de solution, c’est terminé; sinon, aller à l’étape suivante.
3. Continuer la méthode du pivot pour obtenir échelonnée réduite.
4. Réécrire chaque équation non nulle issue de l’étape 4 de façon à exprimer
   son unique inconnue principale en fonction des inconnues non principales apparaissant dans l’équation.

Question 14

Équations vectorielles

Answer 14

Addition vectorielles, multiplication par un scalaire, soustraction de deux vecteurs, la somme de cv et dw est une combinaison linéaire de v et w. Produit scalaire est une fonction R^n x R^n au R.

Question 15

Équations matricielle: Ax= b

Answer 15

Le produit Ax est une combinaison linéaire des colonnes de A pour donner b.

Chaque composante de Ax est le produit scalaire d’une ligne de A avec x.

Si A est une matrice m x n de colonnes a1, a2,…, an, et si x est un vecteur de R^n alors on appelle produit de A par x, et on note Ax, la combinaison linéaire des colonnes de A dont les coefficients sont les composantes de x.

Question 16

Théorème 3

Answer 16

Si A est une matrice m x n de colonnes a1, a2,…, an, et si x est un vecteur de R^m. L’équation matricielle alors Ax= b a le mm ensemble de solutions que l’équation vectorielle x1a1+……….+xnan=b.

laquelle a elle-même le mm ensemble de solutions que le système linéaire de matrice complète.

Remarque: l’équation Ax= b admet une solution si et seulement si b est une combinaison linéaire des colonnes de A.

Question 17

Théorème 4

Answer 17

Si A est une matrice m (lignes) × n (colonnes) , les propriétés suivantes sont équivalentes.
1. Pour tout b un vecteur de R m , l’équation A x = b admet au
moins une solution. pas d’absurdité
2. Tout vecteur de R m est une combinaison linéaire des colonnes de A.
3. Les colonnes de A engendrent (peut donner) R m.

4. Il existe dans chaque ligne de A une position de pivot, sinon il y a absurdité.

Il s’agit d’une méthode qui permet de trouver l’ensemble des solutions de n’importe quel système d’équations linéaires.
* L’objectif de l’élimination est d’obtenir un système triangulaire supérieur; Conversion de Ax = b en Ux = c avec U est un matrice triangulaire supérieure
* L’élimination est suivie d’une remontée triangulaire:
* Le pivot P; est le premier coefficient non nul de la ligne j qui fait l’élimination.
* On obtient le multiplicateur / = Coefficient à éliminer aj/pivot (pivot ne peut pas s’annuler)
* On complète l’opération (aij - lijpj) pour éliminer le coefficient aij

Question 18

Théorème 5

Answer 18

Si A est une matrice m × n, u et v des vecteurs de Rn et c un scalaire alors on a les relations
1. A (u+v) = Aut Av;
2. A (c u) = c (Au)

Question 19

système linéaire homogène

Answer 19

On dit qu’un SEL est homogène si on peut écrire A x = 0, où A est une matrice m × n et 0 le vecteur nul de R m.
A x = 0 a toujours au moins une solution x = 0, on appelle
cette solution nulle est la solution triviale.

Ax= b, alors l’ensemble des solutions si il est compatible est xcomp= xh oi xh: les solutions de système homogène Ax= 0
La question est de savoir s’il existe une solution ……

Question 20

Solutions des systèmes linéaires non homogènes

Answer 20

Soit b un vecteur tel que l’équation Ax = b soit compatible, et p une solution particuliere. Alors l’ensemble des solutions de l’équation
A x = b est l’ensemble de la forme
w=p+Vh ou xcomp= xp + xh
où Vh est une solution quelconque de l’équation homogène Ax = 0.

Question 21

Indépendance linéaire

Answer 21

On dit qu’une famille {V1, …, Vp} de vecteurs de R^n est libre, ou que ses vecteurs sont linéairement indépendants, si l’équation vectorielle
XV1 +X2Vz +… + XpVp = 0
admet une solution triviale comme unique solution.

(v1, v2,… vn) n vecteur sont indépendants seulement si Ax=0 ou A= (v,…,vn) admet une solution unique qui est de 0 (si faux c’est dépendant.

Question 22

Théorème 7

Answer 22

Une famille F={V1, ., V.} d’au moins deux vecteurs est liée ssi au moins l’un De ses vecteurs est une combinaison linéaire des autres. Relation = on peut exprimer un vecteur en fonction des autres.

Question 23

Théorème 8

Answer 23

Une famille de vecteurs ayant strictement plus d’éléments que les vecteurs n’ont de composantes est nécessairement liée. Autrement dit, si p > n et si V1. …, Vp sont des vecteurs de R^n, alors ils sont lineairement dependants.

Les colonnes d’une matrice qui possède des pivots sont indépendants et les autres sont dépendants donc ils sont liés.

Question 24

Théorème 9

Answer 24

Une famille de R^n contenant le vecteur nul est nécessairement liée.

Question 25

Résumé

Answer 25

Matrice augmentée: forme abrégée d’un SEL de m équations et n inconnus.

on la note [Alb)

L’obiectif de l’élimination est d’obtenir un système triangulaire supérieur; Conversion de Ax = b en Ux = c avec U est un matrice triangulaire supérieure
* L’élimination est suivie d’une remontée triangulaire:
* Le pivot P; est le premier coefficient non nul de la ligne j qui fait l’élimination.
On obtient le multiplicateur |ij= Coefficient à éliminer air/pivot (pivot ne peut pas s’annuler)
* On complète l’opération (aij - lisj pj) pour éliminer le coefficient aij
(ou on remplace la ligne Li par (Li-lijLj)

Pour système linéaire:
a11x1 +… + ainXn = Y1
ap1x1 + … + aPnXn = yp

• Générer des 0 sous le premier pivot par élimination
  Résultat: un nouveau SEL1
• Générer des 0 sous le deuxième pivot
  Résultat: un nouveau SEL2;

-(On continue jusqu’avoir un système triangulaire)
Résultat: un nouveau SELP

-Remontée triangulaire

Question 26

Résumé 2

Answer 26

Les cas où on obtient n pivots pour n équations: solution unique

Les cas où on n’obtient pas n pivots pour n équations:
* Aucune solution: après l’élimination, le système triangulaire obtenu possède une équation de la forme 0y = b avec b‡ 0

• Infinité de solution: après l’élimination, le système triangulaire obtenu possède une équation de la forme 0y = 0