Cours 3 Flashcards
Objectifs
1) Matrices par blocs
2) Factorisations matricielles:
- Factorisation LU
- Résolution d’un SEL en utilisant la factorisation LU
- Coût de l’élimination
3) Déterminants de matrices carrées
- Méthode de calcul
- Propriétés
Matrices par blocs et multiplication par blocs
Les matrices par blocs facilitent l’ ́etude et mettent l’accent sur des structures matricielles importantes.
Une matrice peut être découpée en blocs, qui sont des matrices plus petites.
La multiplication bloc par bloc se fait lorsque les dimensions des blocs le permettent (la séparation entre les colonnes de A correspond à la séparation entre les lignes de B)
Note:
Si A est une matrice de taille (m,n) et B est une matrice de taille (n,p), alors (séparation entre colonnes de A est égale à la séparation entre les lignes de B)
Une des répartition qui d’écoule du produit matriciel-portrait ligne-colonne
conduit à:
Élimination
Pour obtenir un système triangulaire, il a fallut multiplier par les matrices d’élimination.
Alors EAx = Ux avec U est la matrice triangulaire U
Élimination par blocs
Supposant que R peut être partitionnée en 4 blocs (A,B,C et D)
Alors la matrice d’élimination E peut faire d’ élimination sur toute une colonne
de R, est:
Élimination- Factorisation
Factorisation A= LU (pas de permutation) !!!!
La factorisation LU d’une matrice n x n consiste à écrire une matrice A comme le produit de deux autres matrices L et U : A = LU.
Les facteurs L et U sont des matrices triangulaires.
La factorisation qui vient de l’élimination est A = LU:
- U est la matrice triangulaire supérieure avec les pivots sur sa diagonale principale obtenus à partir des étapes d’élimination sur A;
- L est une matrice triangulaire qui ne contient que des 1 sur la diagonale et les multiplicateurs lij sous la diagonale.
Ly=b => y=?
Ux=y => x=?
LU= Ax=b
Quand A= LU alors Ax= b devient L(Ux) = b
Remarques (A= LU):
L possède des 1 sur sa diagonale.
Chaque multiplicateur lij est à sa position (i,j) dans L
L = (Ep …E1) ^-1
U est triangulaire supérieure.
Les n pivots sont sur la diagonale de U.
Élimination- Factorisation
Factorisation A= LDU
Pour une matrice A de taille 3x3, lorsqu’ aucune permutation de lignes est nécessaire, on a:
Si on appelle d11,d22,d33, les pivots ou les éléments sur la diagonale de U
ou les pivots de A alors:
alors, on appelle factorisation LDU’:
A = LU = LDU’
On l’appelle aussi la factorisation LDU
Élimination- Factorisation
Coût de l’élimination
L’ ́elimination sur A nécessite environ n^3/3 multiplications et n^3/3 soustractions;
La résolution pour chaque membre de droite nécessite n^2 multiplications et
n^2 soustractions; Si A est une matrice 3 x 3, alors on aura besoin de 3 multiplications et 3 soustractions:
– 3 multiplications par le multiplicateurs lij .
– 3 soustractions de la ligne qui fait l’ ́élimination.
–9 multiplications et 9 soustractions pour le membre de droite.
Cas particulier: matrice bande est une matrice possédant w coe fficients
non nuls qui se regroupent autour de la diagonale, une matrice A d’ordre n
est appelée bande si tous ses coe fficients aij non nuls sont situés dans une
bande délimité par des parallèle de la diagonale principale.
Exemple:
- Matrice tridiagonale
- Matrices triangulaires supérieures et inférieures.
Coût de l’ ́elimination:
L’ élimination nécessite environ nw^2 multiplications et nw^2 soustractions;
La résolution pour chaque membre de droit nécessite 2nw.
Déterminants de matrices carrées
1) Si A= [a, b, c, d], alors le déterminant de A, noté det(A) ou |A| est défini par det(A)= ad - cd
2) Si A = [a1 a2 a3; b1 b2 b3; c1 c2 c3], alors det(A)= a1|b2 b3 c2 c3| - a2|b1 b3 c1 c3| + a3|b1 b2 c1 c2|, si on développe selon la première ligne
3) Les signes sont déterminés selon |+ - +; - + -; + - +|
4) On peut développer à partir de n’importe quelle ligne ou colonne
5) Si A= (aij) non, alors det(A)= aijCij ou Cij= (-1) ^ i+j det(Aij) et Aij est obtenue en supprimant la ligne i et la ligne j de A
Théorème 1 des déterminants de matrices carrées
La matrice A est inversible si et seulement si det(A) # 0
Théorème 2 des déterminants de matrices carrées
Si la matrice carrée A est inversible alors le système AX= B possède une solution unique X = A ^-1B oû A^- 1 est la matrice inverse de A.
Propriétés des déterminants de matrices carrées
Soit A= (aij)1< i,j< n et B = (bij)1<i,j<n des matrices carrées
Propriétés:
1) Si A est diagonale, alors det(A) = n pi i=1 aii
2) det (A) = det (A^T )
3) det (AB ) = (det (A)) (det (B))
4) Si l’on ajoute à une ligne de A un multiple d’une autre ligne, alors la matrice B obtenue vérifie
det(B) = det(A).
5) Si l’on échange deux lignes de A, alors la matrice B obtenue vérifie
det(B) = -det(A).
6) Si l’on multiplie une lignes de A par k, alors la matrice B obtenue vérifie
det(B) = kdet(A).
