Matrices symétriques et formes quadratiques Flashcards
Introduction
1) Traitement d’image
2) L’analyse en composantes principales est un moyen e fficace de supprimer l’information redondante et de synthétiser en une ou deux images composites la plupart des informations présentes dans les données initiales.
3) L’objectif est de déterminer une combinaison linéaire particulière des images.
7.1 Diagonalisation des matrices symétrique
Définition:
On appelle matrice symétrique toute matrice telle que A^T = A. Remarque
Remarque:
Les coe fficients d’une matrice symétrique sont symétriques par rapport à la diagonale principale, c’est-`a-dire aij = aji pour tout 1< ou = i # j < ou = n.
A quelconque
A symétrique
Exemple
Théorème 1 7.1
Deux vecteurs propres d’une matrice symétrique, appartenant à des sous-espaces propres distincts, sont orthogonaux.
Théorème 2 7.1
Une matrice carrée A est diagonalisable en base orthonormée si et seulement si elle est symétrique
A= QDQ^T ou Q^T c’est la transposé
Exemple
Théorème spectral 7.1
Toute matrice symétrique A de type n x n vérifie les propriétés suivantes:
1) A admet n valeurs propres réelles, compte tenu des ordres de multiplicité. MG(&i)
2) Pour chaque valeur propre , la dimension du sous-espace propre associé est égale à l’ordre de multiplicité de & en tant que racine de polynôme caractéristique.
elle est diagonale MA(&i)=MG(&i)
3) Les sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux, ce qui signifie que deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont caractéristique.
orthogonaux. (|)
4) A est diagonalisable en base orthonormée
Décomposition spectrale de A
On écrit A sous la forme A = PDP^- 1, les colonnes u1,u2,…,un de P étant des vecteurs propres de A orthonormés et les valeurs propres associés &1, &
Motivation 7.2 Formes quadratiques
Objectifs:
1) Le calcul de x^T x faisait intervenir des sommes de carrés.
2) Ces expressions sont appelées formes quadratiques.
3) Les applications de l’algèbre linéaire aux sciences de l’ingénieur:
- les critères de conception et l’optimisation
- traitement du signal
́- energie potentiel et énergie cinétique
- en économie
- en statistiques
- etc
Définition et remarque 7.2
Définition:
On appelle forme quadratique sur R^n toute application Q qui associe à un vecteur x de R^n un scalaire de la forme Q(x) = x^T Ax, oû A est une matrice symétrique d’ordre n fixé. La matrice A est appelée matrice de la forme quadratique.
Remarque:
Le plus simple de forme quadratique non nulle est Q(x)=x^T/ x= ||x||^2
Exemple
Exemple
Changement de variable dans une forme quadratique
On désigne x un vecteur variable de R^n, on appelle changement de variable une relation de la forme
x = Py oû de facon équivalente
y = P ^-1x
oû P est une matrice inversible y étant alors un nouveau vecteur variable de R^n.
Si on effectue le changement de variable dans une forme quadratique
x^T A x. On obtient
x^TA x = (Py)^TA((Py) = y^T(P^TAP)y
Puisque A est symétrique, alors il existe une matrice orthogonale P telle que la matrice D = P^T AP soit diagonale.
La forme quadratique devient alors y^T Dy.
Théorème des axes principaux 7.2
Théorème:
Soit A une matrice symétrique n x n. Il existe une matrice orthogonale P telle que le changement de variable x = Py transforme la forme quadratique x^T Ax en une forme quadratique y^T Dy sans termes rectangles.
Remarque:
1) Les colonnes de la matrice P introduite dans le théorème sont appelées axes principaux de la forme quadratique x^T Ax.
2) Le vecteur y est le vecteur des composantes de x dans la base orthonormée de R^n formée par les axes principaux.
Définition et remarque 7.2
Une forme quadratique Q est dite:
1) définie positive si Q(x) > 0 pour tout x # 0
2) définie négative si Q(x) < 0 pour tout x # 0
3) non définie si Q(x) prend à la fois des valeurs positives et des valeurs négatives.
Remarque:
- La forme quadratique Q est simplement dite positive si Q(x) > ou = 0 pour tout x.
La forme quadratique Q est simplement dite négative si Q(x) < ou = 0 pour tout x.
Théorème:
Soit A une matrice symétrique n x n La forme quadratique x^T Ax est:
1) définie positive si et seulement si toutes les valeurs propres de A sont
strictement positives; si x^TAx > 0 si toutes &i > 0
2) définie négative si et seulement si toutes les valeurs propres de A sont
strictement négatives. si x^TAx < 0 si toutes &i < 0
3) non définie si A admet à la fois des valeurs propres positives et des
strictement négatives;si x^TAx < ou > 0 si toutes &i > 0 ou &i < 0
Application: Optimisation
Application : Optimisation
Soit f(x) une fonction de R^n dans R
- Les points stationnaires (ou critiques) de f sont les points x*
tels que Vf(x*) = 0 - Si V^2f (x) (la matrice hessienne en x critique) est :
- définie positive : x* est un minimum local de f
- définie négative : ×* est un maximum local de f
- non-définie : ×* est un point de selle (ou point-col)
- Si V^2f(x), pour tout x, est :
- semi-définie positive : f est convexe et x* est un minimum global de f
- semi-définie négative : f est concave et ×* est un maximum global de f
