Chapitren 4 partie 1

Question 1

Objectifs

Answer 1

1) Espaces et sous- espaces vectoriels

• Notations
• Combinaisons linéaire
• Système générateur

2) Noyau et image d’une matrice

• Noyau d’une matrice
• Image d’une matrice

3) Indépendance linéaire et système libre

• Test d’indépendance linéaire

4) Base et dimension

Question 2

Notations

Answer 2

• V^2 est l’ensemble des vecteurs g ́eométriques du plan
• V^3 est l’ensemble des vecteurs géométriques de l’espace,
• on note V pour V2 ou V3 (selon le contexte)

Question 3

Définition

Answer 3

Un espace vectoriel réel est un ensemble V muni des opérations :

• addition vectorielle, loi interne
• multiplication scalaire, loi externe

8 propriétés: 4 propriétés de lois interne (1 à 4) et 4 propriétés de loi externe (4 à 8)

Question 4

Exemple (qui sont des espaces vectoriels)

Answer 4

Des ensembles qui sont des espaces vectoriels:
1) L’ensemble des polynômes de degré < ou = 2.
2) L’ensemble des matrices d’ordre m x n.
3) L’ensemble des fonctions dérivables définies sur R

Question 5

Exemple (qui NE sont pas des espaces vectoriels)

Answer 5

Des ensembles qui NE sont pas des espaces vectoriels:

1) L’ensemble des vecteurs unitaires.

2) L’ensemble des matrices inversibles.

3) L’ensemble des vecteurs du premier quadrant.

Question 6

Remarque

Answer 6

Un ensemble U peut être décrit par une caractérisation algébrique, c-à-d les composantes d’un vecteur appartenant à U doivent vérifier une ou plusieurs contraintes.

Question 7

Définition

Answer 7

Soit V un espace vectoriel et U un sous-ensemble de V. Si U est un espace vectoriel avec les mêmes opérations d’addition et de multiplication par un scalaire que V , alors on dit que U est un sous-espace vectoriel de V .

Il n’est pas nécessaire de vérifier tous les axiomes. Il su ffit de vérifier que U est fermé sous l’addition et la multiplication par un scalaire.

Question 8

Théorème

Answer 8

Soit V un espace vectoriel et U un sous-ensemble de V , décrit au moyen d’une caractéristique algébrique. U est un sous-espace vectoriel si :

1) U n’est pas vide
2) U est fermé sous l’addition
3) U est fermé sous la multiplication par un scalaire

Si une des trois conditions n’est pas satisfaite, alors U n’est pas un sous-espace vectoriel de V .

Question 9

Remarque

Answer 9

Les conditions 1 et 2 sont équivalentes à la condition unique

• Si U est un sous-espace vectoriel, alors 0 appartient à U
• Tout espace vectoriel V contient deux sous-espaces vectoriels triviaux

Question 10

Exemple

Answer 10

Dans chaque cas, déterminer si le sous-ensemble donné est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel indiqué :

1, 2, 3 et 4

Question 11

Théorème

Answer 11

Si U1 et U2 sont des sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel V , alors U1 union U2 est un sous-espace vectoriel de V .

Remarque **:

Si U1 et U2 sont des sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel V , alors U1 réunion U2 n’est pas nécessairement un sous-espace vectoriel de V .

Question 12

Combinaison linéaire

Answer 12

Soient v1,v2,··· ,vk des vecteurs de l’espace vectoriel V, et soient l1,l2,···,lk E R,
On appelle le vecteur
….

une combinaison linéaire des vecteurs v1,v2,··· ,vk. Et on dit que v est linéairement dépendant de v1, v2, · · · , vk .

U=… est
l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs v1,v2,··· ,vk E V, et est noté U = [v1,v2,··· ,vk].

Exemple

Question 13

Théorème

Answer 13

1) Le sous-ensemble [v1,v2,··· ,vk] de V est un sous-espace vectoriel de V, appelé le sous-espace engendré par les vecteurs v1, v2, · · · , vk .

2) Les vecteurs v1,v2,··· ,vk sont nommés les générateurs de ce sous-espace vectoriel.

3) On dit que v1 , v2 , · · · , v3 engendrent le sous-espace vectoriel
[v1,v2,··· ,vk] et

4) que l’ensemble (v1,v2,··· ,vk) est un système générateur de [v1,v2,··· ,vk].

Question 14

Cas particuliers

Answer 14

particuliers : n
1) Soit v E V et v # 0.U= (u E V|u= kv , k E R = [v] est un
sous-espace vectoriel de V, dit droite vectorielle engendrée par v. Sous-espace vectoriel généré par un vecteur non nul.

2)
Soit v1 # 0 et v # 0 deux vecteurs de V tel que v2 # [v1] (c-à -d
v2 # kv1 ) .
U = (u E V | u = k1v1 + k2v2, k1,k2 E R = [v1, v2] est un sous-espace vectoriel de V, dit plan vectoriel engendré par v1 et v2.
Si V et de dimension n alors (n - 1) vecteurs indépendants génèrent un plan de V: R^3

On ne garde que les colonnes qui ont un pivot

Solution homogène

ex: X est une variable pivot et y et z sont libre, on exprime les variables pivots en fct des variables libres dont y- 0 et z= 0

Question 15

Noyau (1er type de sous- espace)

Answer 15

On appelle noyau d’une matrice A de type m x n, et l’on note KerA, l’ensemble des solutions de l’ ́equation homogène
Ax = 0.

KerA= {x:x E R^n et Ax=0}

Question 16

Théorème noyau

Answer 16

Le noyau d’une matrice A de type m x n est un sous-espace vectoriel de R^n. De facon générale l’ensemble des solutions d’un système Ax = 0 de m équations linéaires à n inconnues est un sous-espace vectoriel de R^n. Le noyau ext un sous- espace vectorielle car 1, 2 et 3 sont vérifiés

Question 17

Image

Answer 17

On appelle espace engendré par les colonnes ou image d’une matrice A de type m x n, et l’on note Im A, l’ensemble des combinaisons linéaires de A.
Si A = [a1 … an], alors

Im A = Vect{a1, …, an}

Question 18

Indépendance linéaire et système libre

Answer 18

Soient v1,v2,··· ,vk des vecteurs de V. S’il existe un vecteur vi, i = 1,··· ,k, qui peut s’écrire comme combinaison linéaire des vecteurs
v1,v2,··· ,vi -1,vi+1,··· ,vk, c-à-d
vi = l1v1 + l2v2 + ··· + li -1vi -1 + li+1vi+1 + ··· + kvk,

alors on dit que {v1,v2,··· ,vi -1,vi,vi+1,··· ,vk} est un système lié ou
linéairement dépendant.
Un système qui n’est pas lié est dit libre ou linéairement indépendant.

Question 19

Théorème

Answer 19

Le système
{v1, v2, · · · , vk} est dit linéairement indépendant si et seulement si
k
livi =l1v1 +l2v2 +···+kvk =0
i=1
implique que l1 = l2 = ··· = lk = 0 est la seule solution.

Remarque:

1) Tout système contenant le vecteur 0 est lié

2) Si le système ne contient qu’un seul vecteur v, alors:

• si v # 0, alors le système est libre.
• si v =0, alors le système est lié.

Exemple

Question 20

Base et dimension

Answer 20

Un espace vectoriel V est de dimension finie s’il possède un système g ́enérateur fini. Sinon, il est de dimension infinie.

L’ensemble fini S = {v1,v2,··· ,vk} de vecteurs de l’espace vectoriel V est dit une base de V si:

1) S est un système libre

2) S est un système g ́enérateur de V

Une base de V est un système générateur libre de V

Exemple

Question 21

Théorème

Answer 21

Si S = {v1, v2, · · · , vn} est une base de l’espace vectoriel V , alors tout ensemble contenant plus de n vecteurs de V est linéairement dépendant.

Ce théorème indique que même s’il existe plusieurs bases différentes, le nombre de vecteurs dans chaque base est invariant.

Question 22

Dimension

Answer 22

La dimension d’un espace vectoriel V , notée dim V , est le nombre de vecteurs d’une base de V .

Remarque:

On dit que l’espace [0] est de dimension 0

Exemple

Question 23

Théorème

Answer 23

Soit V un espace vectoriel de dimension n et soit S un ensemble de n vecteurs de V.

• si S est un système libre, alors S est une base de V .
• si S est système générateur de V , alors S est une base de V .

Exemple

Question 24

Théorème

Answer 24

Soit V un espace vectoriel de dimension n et soit W un sous-espace vectoriel de V. Alors,

• dimW < ou = n.
• dim W = n <=> W = V .
• si S = {v1,v2,··· ,vk} est une base de W telle que k < n, alors il existe des vecteurs u1, u2, · · · , un- k tels que le système {v1, v2, · · · , vk , u1,u~,··· ,un- k} est une base de V.

Exemple

Question 25

Rang

Answer 25

Le rang de Amn est le nombre de pivots non nuls de A. dimIm(A) (colonnes de pivot de A)= rang(A)

On appelle rang d’une matrice la dimension de son image, c’est-à -dire de l’espace vectoriel engendré par ses colonnes.

Question 26

Théorème

Answer 26

Soit A une matrice m x n. Les espaces engendrés, d’une part, par les colonnes
de A et, d’autre part, par les lignes de A ont la même dimension. Cette
dimension commune, le rang de A est égale au nombre de positions de pivot de A et vérifie la relation

rang A+dimkerA = n

ou dimlgnA+ dimkerA=rang A+dimkerA = n

ou dimImA + dimkerA^T= rangA^T + dimkerA^T= m

Question 27

Théorème

Answer 27

Soit A une matrice n x n (carré). Les propriétés suivantes sont équivalentes au fait que
A soit inversible. (toutes pivots = inversible)
* Les colonnes de A forment une base de Rn

• ImA=Rn.
• dimImA=n.
• rang A = n
• Ker A = {0}
• dim Ker A = 0.

Question 28

Théorème changement de base

Answer 28

Soit B = {b1,…,bn} et C = {c1,…,cn} deux base d’un espace vectoriel V. Alors il existe une matrice unique P C -> B de type n x n telle que pour tout
vecteur x de V
Les colonnes de P C->B sont les colonnes de composantes, dans la base C, des
vecteurs de la base B. Autrement dit,
PC<-B = [[b1]C [b2]C …[bn]C]
[x]C =PC<-B[x]B

Exemple

Question 29

Remarque 1

Answer 29

La matrice PC<-B est appelée matrice de passage de B à C.
La multiplication par cette matrice de passage transforme les composantes dans la base B en composantes dans la base C

Question 30

Remarque 2

Question 31

Remarque 3

Answer 31

Pour trouver la matrice de passage P<-B: par la méthode de pivot de transformer

(c1 c2 | b1 b2) = ( I PC<-B)