Chapitren 4 partie 1 Flashcards
Objectifs
1) Espaces et sous- espaces vectoriels
- Notations
- Combinaisons linéaire
- Système générateur
2) Noyau et image d’une matrice
- Noyau d’une matrice
- Image d’une matrice
3) Indépendance linéaire et système libre
- Test d’indépendance linéaire
4) Base et dimension
Notations
- V^2 est l’ensemble des vecteurs g ́eométriques du plan
- V^3 est l’ensemble des vecteurs géométriques de l’espace,
- on note V pour V2 ou V3 (selon le contexte)
Définition
Un espace vectoriel réel est un ensemble V muni des opérations :
- addition vectorielle, loi interne
- multiplication scalaire, loi externe
8 propriétés: 4 propriétés de lois interne (1 à 4) et 4 propriétés de loi externe (4 à 8)
Exemple (qui sont des espaces vectoriels)
Des ensembles qui sont des espaces vectoriels:
1) L’ensemble des polynômes de degré < ou = 2.
2) L’ensemble des matrices d’ordre m x n.
3) L’ensemble des fonctions dérivables définies sur R
Exemple (qui NE sont pas des espaces vectoriels)
Des ensembles qui NE sont pas des espaces vectoriels:
1) L’ensemble des vecteurs unitaires.
2) L’ensemble des matrices inversibles.
3) L’ensemble des vecteurs du premier quadrant.
Remarque
Un ensemble U peut être décrit par une caractérisation algébrique, c-à-d les composantes d’un vecteur appartenant à U doivent vérifier une ou plusieurs contraintes.
Définition
Soit V un espace vectoriel et U un sous-ensemble de V. Si U est un espace vectoriel avec les mêmes opérations d’addition et de multiplication par un scalaire que V , alors on dit que U est un sous-espace vectoriel de V .
Il n’est pas nécessaire de vérifier tous les axiomes. Il su ffit de vérifier que U est fermé sous l’addition et la multiplication par un scalaire.
Théorème
Soit V un espace vectoriel et U un sous-ensemble de V , décrit au moyen d’une caractéristique algébrique. U est un sous-espace vectoriel si :
1) U n’est pas vide
2) U est fermé sous l’addition
3) U est fermé sous la multiplication par un scalaire
Si une des trois conditions n’est pas satisfaite, alors U n’est pas un sous-espace vectoriel de V .
Remarque
Les conditions 1 et 2 sont équivalentes à la condition unique
- Si U est un sous-espace vectoriel, alors 0 appartient à U
- Tout espace vectoriel V contient deux sous-espaces vectoriels triviaux
Exemple
Dans chaque cas, déterminer si le sous-ensemble donné est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel indiqué :
1, 2, 3 et 4
Théorème
Si U1 et U2 sont des sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel V , alors U1 union U2 est un sous-espace vectoriel de V .
Remarque **:
Si U1 et U2 sont des sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel V , alors U1 réunion U2 n’est pas nécessairement un sous-espace vectoriel de V .
Combinaison linéaire
Soient v1,v2,··· ,vk des vecteurs de l’espace vectoriel V, et soient l1,l2,···,lk E R,
On appelle le vecteur
….
une combinaison linéaire des vecteurs v1,v2,··· ,vk. Et on dit que v est linéairement dépendant de v1, v2, · · · , vk .
U=… est
l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs v1,v2,··· ,vk E V, et est noté U = [v1,v2,··· ,vk].
Exemple
Théorème
1) Le sous-ensemble [v1,v2,··· ,vk] de V est un sous-espace vectoriel de V, appelé le sous-espace engendré par les vecteurs v1, v2, · · · , vk .
2) Les vecteurs v1,v2,··· ,vk sont nommés les générateurs de ce sous-espace vectoriel.
3) On dit que v1 , v2 , · · · , v3 engendrent le sous-espace vectoriel
[v1,v2,··· ,vk] et
4) que l’ensemble (v1,v2,··· ,vk) est un système générateur de [v1,v2,··· ,vk].
Cas particuliers
particuliers : n
1) Soit v E V et v # 0.U= (u E V|u= kv , k E R = [v] est un
sous-espace vectoriel de V, dit droite vectorielle engendrée par v. Sous-espace vectoriel généré par un vecteur non nul.
2)
Soit v1 # 0 et v # 0 deux vecteurs de V tel que v2 # [v1] (c-à -d
v2 # kv1 ) .
U = (u E V | u = k1v1 + k2v2, k1,k2 E R = [v1, v2] est un sous-espace vectoriel de V, dit plan vectoriel engendré par v1 et v2.
Si V et de dimension n alors (n - 1) vecteurs indépendants génèrent un plan de V: R^3
On ne garde que les colonnes qui ont un pivot
Solution homogène
ex: X est une variable pivot et y et z sont libre, on exprime les variables pivots en fct des variables libres dont y- 0 et z= 0
Noyau (1er type de sous- espace)
On appelle noyau d’une matrice A de type m x n, et l’on note KerA, l’ensemble des solutions de l’ ́equation homogène
Ax = 0.
KerA= {x:x E R^n et Ax=0}
Théorème noyau
Le noyau d’une matrice A de type m x n est un sous-espace vectoriel de R^n. De facon générale l’ensemble des solutions d’un système Ax = 0 de m équations linéaires à n inconnues est un sous-espace vectoriel de R^n. Le noyau ext un sous- espace vectorielle car 1, 2 et 3 sont vérifiés
Image
On appelle espace engendré par les colonnes ou image d’une matrice A de type m x n, et l’on note Im A, l’ensemble des combinaisons linéaires de A.
Si A = [a1 … an], alors
Im A = Vect{a1, …, an}
Indépendance linéaire et système libre
Soient v1,v2,··· ,vk des vecteurs de V. S’il existe un vecteur vi, i = 1,··· ,k, qui peut s’écrire comme combinaison linéaire des vecteurs
v1,v2,··· ,vi -1,vi+1,··· ,vk, c-à-d
vi = l1v1 + l2v2 + ··· + li -1vi -1 + li+1vi+1 + ··· + kvk,
alors on dit que {v1,v2,··· ,vi -1,vi,vi+1,··· ,vk} est un système lié ou
linéairement dépendant.
Un système qui n’est pas lié est dit libre ou linéairement indépendant.
Théorème
Le système
{v1, v2, · · · , vk} est dit linéairement indépendant si et seulement si
k
livi =l1v1 +l2v2 +···+kvk =0
i=1
implique que l1 = l2 = ··· = lk = 0 est la seule solution.
Remarque:
1) Tout système contenant le vecteur 0 est lié
2) Si le système ne contient qu’un seul vecteur v, alors:
- si v # 0, alors le système est libre.
- si v =0, alors le système est lié.
Exemple
Base et dimension
Un espace vectoriel V est de dimension finie s’il possède un système g ́enérateur fini. Sinon, il est de dimension infinie.
L’ensemble fini S = {v1,v2,··· ,vk} de vecteurs de l’espace vectoriel V est dit une base de V si:
1) S est un système libre
2) S est un système g ́enérateur de V
Une base de V est un système générateur libre de V
Exemple
Théorème
Si S = {v1, v2, · · · , vn} est une base de l’espace vectoriel V , alors tout ensemble contenant plus de n vecteurs de V est linéairement dépendant.
Ce théorème indique que même s’il existe plusieurs bases différentes, le nombre de vecteurs dans chaque base est invariant.
Dimension
La dimension d’un espace vectoriel V , notée dim V , est le nombre de vecteurs d’une base de V .
Remarque:
On dit que l’espace [0] est de dimension 0
Exemple
Théorème
Soit V un espace vectoriel de dimension n et soit S un ensemble de n vecteurs de V.
- si S est un système libre, alors S est une base de V .
- si S est système générateur de V , alors S est une base de V .
Exemple
Théorème
Soit V un espace vectoriel de dimension n et soit W un sous-espace vectoriel de V. Alors,
- dimW < ou = n.
- dim W = n <=> W = V .
- si S = {v1,v2,··· ,vk} est une base de W telle que k < n, alors il existe des vecteurs u1, u2, · · · , un- k tels que le système {v1, v2, · · · , vk , u1,u~,··· ,un- k} est une base de V.
Exemple
Rang
Le rang de Amn est le nombre de pivots non nuls de A. dimIm(A) (colonnes de pivot de A)= rang(A)
On appelle rang d’une matrice la dimension de son image, c’est-à -dire de l’espace vectoriel engendré par ses colonnes.
Théorème
Soit A une matrice m x n. Les espaces engendrés, d’une part, par les colonnes
de A et, d’autre part, par les lignes de A ont la même dimension. Cette
dimension commune, le rang de A est égale au nombre de positions de pivot de A et vérifie la relation
rang A+dimkerA = n
ou dimlgnA+ dimkerA=rang A+dimkerA = n
ou dimImA + dimkerA^T= rangA^T + dimkerA^T= m
Théorème
Soit A une matrice n x n (carré). Les propriétés suivantes sont équivalentes au fait que
A soit inversible. (toutes pivots = inversible)
* Les colonnes de A forment une base de Rn
- ImA=Rn.
- dimImA=n.
- rang A = n
- Ker A = {0}
- dim Ker A = 0.
Théorème changement de base
Soit B = {b1,…,bn} et C = {c1,…,cn} deux base d’un espace vectoriel V. Alors il existe une matrice unique P C -> B de type n x n telle que pour tout
vecteur x de V
Les colonnes de P C->B sont les colonnes de composantes, dans la base C, des
vecteurs de la base B. Autrement dit,
PC<-B = [[b1]C [b2]C …[bn]C]
[x]C =PC<-B[x]B
Exemple
Remarque 1
La matrice PC<-B est appelée matrice de passage de B à C.
La multiplication par cette matrice de passage transforme les composantes dans la base B en composantes dans la base C
Remarque 2
Remarque 3
Pour trouver la matrice de passage P<-B: par la méthode de pivot de transformer
(c1 c2 | b1 b2) = ( I PC<-B)
