Chapitre 2 Calcul matriciel

Question 1

Matrice de dimension m x n

Answer 1

Une matrice de dimension m × n est un tableau constitué de m lignes et n colonnes d’éléments d’un ensemble donné.

Question 2

Matrice nulle

Answer 2

Une matrice nulle est une matrice dont tous les éléments sont nuls.
On note 0=0mxn la matrice nulle de dimension m X n

Question 3

Matrice ligne

Answer 3

une matrice de dimension 1 x n

Question 4

Matrice colonne

Answer 4

une matrice de dimension m x 1

Question 5

Matrice Carrée d’ordre n

Answer 5

Une matrice de dimension n x n

Question 6

La diagonale principale d’une matrice carrée A= (aij) non

Answer 6

La suite des éléments a11, a22, a33, …, ann.

Question 7

Matrice carrée triangulaire supérieure

Answer 7

Quand tous les éléments situés au- dessous de la diagonale principale sont nuls

Question 8

Matrice carrée triangulaire inférieure

Answer 8

Quand tous les éléments situés au- dessus de la diagonale principale sont nuls

Question 9

Matrice carrée diagonale

Answer 9

Quand tous les éléments qui ne sont pas situés sur la diagonale sont nuls

Question 10

Matrice carrée identité

Answer 10

Quand tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1 et que tous les autres éléments sont nuls. On note In la matrice identité d’ordre n. IA= A et AI=A

Question 11

Matrice B= (bij) m x n carrée

Answer 11

matrice opposée de la matrice A- (aij) m x n quand bij= - aij pour tous i et j.

Question 12

Deux matrices A et B sont égales si et seulement si…

Answer 12

Elles ont les mêmes dimensions

aij = bij pour tous i et j

Question 13

La somme de deux matrices de même dimension A= (aij) min et B=(ij) m x n

Answer 13

définie par la matrice A + B = (aij + bij) mxn

Question 14

Si M est l’ensemble des matrices de dimensions une matrice (aij) mxn et c un réel:

Answer 14

le produit de A par le scalaire c, noté cA, est la matrice: cA= (caij) mxn

Question 15

Opérations matricielles Théorème 1, addition et multiplication par un scalaire

Answer 15

Soit A, B et C des matrices de même taille, et r et s des scalaires
a. A+ B = B+A
(commutativité)
b. A + (B + C) = (A + B) + C
(associativité) A + R1= R2 + C
c. A+0 = A
(élément neutre pour l’addition)
d. r (A + B) = rA + rB (AB pas= BA)
e. (r+s)A =rA+ SA
f. (rs) A = (rs) A

Question 16

Multiplication matricielle: portrait des colonnes pour le calcul de AB

Answer 16

Soit A une matrice m × n et B une matrice de taille n × p dont on note les colonnes b1, …., b. On appelle produit de A et B, et l’on note AB, la matrice m × p dont les colonnes sont AB= Ab1, ….., Abp ,

Question 17

Multiplication matricielle: règle ligne- colonne pour le calcul de AB

Answer 17

Soit A une matrice m × net B est une matrice n × p.
* Le résultat pour multiplier A et B est une matrice C de dimension
m × р
Amxn × Bnxp = Cmxp

• le coefficient de la ligne i et de la colonne j de AB est:
  Cij = (AB); = (la i-ième ligne de A) × (la j-ième colonne de B)

Question 18

Propriété de la multiplication matricielle

Answer 18

Soit A une matrice m × n, et B et C deux matrices de telles que les sommes et les produits ci-dessous aient un sens.

a. A(BC) = (AB)C (associativité de la multiplication)

b. A(B + C) = AB + AC (distributivité à gauche)

c. (B + C)A = BA + CA (distributivité à droite)

d. r(AB) = (rA)B A(rB) pour tout scalaire r

e. ImA = A = A In (élément unité pour la multiplication)

Attention:

AB = BA Faux

Si AB = AC alors B = C Faux

Si AB = 0 alors A = 0 ou B = 0 Faux

Question 19

Puissances de matrices

Answer 19

Soit A une matrice n x n et k un entier strictement positif. On note A^k, le produit de k matrices égales à A: A^k= A…A = k fois

Question 20

Propriétés relatives à la transposée d’une matrice

Answer 20

Soit A une matrice m x n, on appelle transposée de A la matrice n x m, notée A^T dont les colonnes sont formées des lignes de A. AmnT= Anm ou aijT= aji

Question 21

Théorème 3

Answer 21

Soit A et B deux matrice dont les tailles sont compatibles ave les sommes et les produits écrits ci-dessous. Alors:
a. (A^T)^T = A
b. (A+B)^T = A^T + B^T
c. Pour tout scalaire r, (rA)^T= rA^T

d. (AB)^T = B^TA^T

(AB)T pas égal à A^TB^T !!!!

Question 22

Inverse d’une matrice

Answer 22

On dit qu’une matrice A de type n x n est inversible s’il existe une matrice de type n x n telle que:

CA= I et AC= I

ou I= identité

Ax= b et x^-1= A^-1b

ou x^-1 n’existe pas (il faut que la matrice soit carré)

Question 23

Théorème 4

Answer 23

Soit A= (a b c d) une matrice 2 x 2. Si ad - bc pas égal à 0, alors A est réversible. des (A) = ad - bc pas égal 0

A^-1= 1/(ad - bc) (d -b -c a)

si ad - bc=0 n’est pas inversible

remarque: une matrice non inversible est dite aussi singulière (= 0 ou infinité de solution)

Si inversible= non singulière

Question 24

Théorème 5

Answer 24

Soit A est une matrice n x n inversible (non singulière), alors pour tout vecteur b de R^n, l’équation Ax=b admet pour unique solution le vecteur x= A^-1b.

Question 25

Théorème 6

Answer 25

Si A est une matrice inversible, alors A^-1 est inversible et
(A^-1)^-1 = A

b. Si A et B sont deux matrices n × n inversibles, alors AB est inversible, et l’inverse de AB est le produit des inverses de A et B dans l’ordre inverse.

(AB) ^-1= B^-1A^-1
Tapez une équation ici.

c. Si A est une matrice inversible, AT l’est aussi

((A)^T)^-1 = (A^-1)^T

Question 26

Matrice élémentaire

Answer 26

Une matrice obtenue à partir d’une matrice unité par une seule opération élémentaire sur les lignes (Ann=In et après In=A^-1)

1er remarque: on a à résoudre Ax=b (A/b)

2eme remarque : si on a à résoudre Ax=b (A/b) et (A/b*), on peut résoudre simultanément les 2 systèmes

3ieme remarque: On cherche les colonnes de la matrice inverse et on peut le faire si on le trouve et ce qui donne est la matrice inverse

Question 27

Matrice élémentaires

Answer 27

Toute matrice élémentaire Eij est inversible. L’inverse de Eij est la matrice élémentaire de même type qui transforme Eij en I.

Question 28

Matrice de permutation Pij

Answer 28

la matrice identité avec les lignes i et j permutées

Question 29

Théorème 7

Answer 29

Une matrice A de type n × n est inversible si A est équivalente selon les lignes à In et, dans ce cas, toute suite d’opérations élémentaires sur les lignes qui transforme A en In transforme In en A^-1.

Question 30

Idée de Gauss- Jordan

Answer 30

Ainsi, pour inverser la matrice A de format n × n dont les éléments sont les aj, on utilisera la matrice augmentée suivante

La transformation de Gauss-Jordan consiste à transformer ce système en un système équivalent dont le bloc gauche est l’identité, c’est-à-dire qu’il faut modifier la matrice [A||] pour qu’elle devienne de la forme [I|A “ en utilisant les propriétés de l’algorithme.

Question 31

Étapes de la méthode de Gauss- Jordan pour le calcul de l’inverse de A

Answer 31

Afin de trouver l’inverse de la matrice A:
1. On forme la matrice augmentée du système Al].

2. On utilise la procédure d’élimination de Gauss pour générer des zéros au dessous des pivots.
3. On utilise la procédure d’élimination de Gauss pour générer des zéros au dessus des pivots.
4. On divise chaque ligne par son pivot, les nouveaux pivots sont 1.
5. On génère alors la matrice [IA-‘) à partir de [A||].

La matrice I est alors obtenue dans la première moitié de la matrice augmentée tandis que l’autre moitié contient les colonnes de la matrice inverse.

Question 32

Algorithme de Gauss- Jordan

Answer 32

Lélimination de Gauss peut se traduire par une suite de multiplications de matrices:
[A/I ]vers [I/A-1];
Matrice des
(D-1….E…P…E)A = 1

• E: réalise l’élimination de Gauss ou génère des zéros au dessous et au-dessus des pivots.
• P: faire des permutations de lignes si nécessaire.
• D-1: divise par des pivots. di pas = à 0

Une matrice diagonale a un inverse à condition qu’aucun coefficient sur la diagonale ne soit zéro

Question 33

Un autre point de vue de l’inversion de la matrice

Answer 33

Résoudre AA-1 = I en trouvant chaque colonne de A-1.
* On cherche les colonnes de A-1 = [X1 X2 X3] tel que:

AA-1 = A [X1, X2, X3] = [e1, e2 e3] = I

• Ax1; = e1 = (1,0, 0) donnera la première colonne de A-1
• Ax2 = e2 = (0, 1,0) donnera la deuxième colonne de A-1
• Ax3 = e3 = (0,0, 1) donnera la troisième colonne de A-1

Question 34

Théorème 8

Answer 34

Une matrice A de type n x n est inversible. Les propriétés suivantes sont équivalentes:

a. A est inversible.

b. A admet n pivots

c. L’équation Ax = 0 admetla solution triviale pour unique solution.

d. Les colonnes de A sont linéairement indépendantes.

e. Les colonnes de A engendrent R^n.

f. Pour tout vecteur b de R, l’équation Ax = b admet une solution unique.

g. Il existe une matrice C de type n × n telle que CA = 1.

h. Il existe une matrice D de type n X n telle que AD = I.

i. A^T est inversible.

Question 35

Remarques importantes

Answer 35

Si A est inversible, alors:

1) L’inverse est unique AB = / = CA <=> B = C = A^-1.

2) L’unique solution de Ax = b est x = A^-1b.

3) Il n’existe aucun x # 0 tel que Ax = 0 car Ax = 0 <=> x= A^-1= 0

4) Si det (A) = ad - bc # 0, alors A-1 existe

5) Une matrice diagonale a un inverse à condition qu’aucun coefficient sur la diagonale ne soit zéro

6) Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si aucun de ses coefficients diagonaux n’est nul.

Question 36

Récapitulatif 1

Answer 36

L’inverse existe si et seulement si l’ ́elimination produit n pivots (pour A une matrice carrée).

Si on obtient au moins un pivot nul, on arrête la procédure et alors A n’est pas inversible.

Si A est inversible, la seule et unique solution de Ax = b est x = A -1b.

Si A est inversible, alors Ax =0 peut seulement avoir la solution zéro
x = A -10 = 0.

Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

Une matrice diagonale/triangulaire supérieure/triangulaire inférieure a un inverse à condition qu’aucun coe fficient sur la diagonale ne soit zéro.

Si A est symétrique par rapport à sa diagonale principale, alors A -1 l’est aussi.

Question 37

Récapitulatif 2

Answer 37

Afin de trouver l’inverse de la matrice A:
1 On forme la matrice augmentée du système [A|I].

2 On utilise la procédure d’élimination de Gauss pour générer des zéros au dessous des pivots.

3 On utilise la procédure d’élimination de Gauss pour générer des zéros au dessus des pivots.

4 On divise chaque ligne par son pivot, les nouveaux pivots sont 1.

5 On génère alors la matrice [I|A- 1] à partir de [A|I].

La matrice I est alors obtenue dans la première moitié de la matrice augmentée tandis que l’autre moitié contient les colonnes de la matrice inverse.