Chapitre 2 Calcul matriciel Flashcards
Matrice de dimension m x n
Une matrice de dimension m × n est un tableau constitué de m lignes et n colonnes d’éléments d’un ensemble donné.
Matrice nulle
Une matrice nulle est une matrice dont tous les éléments sont nuls.
On note 0=0mxn la matrice nulle de dimension m X n
Matrice ligne
une matrice de dimension 1 x n
Matrice colonne
une matrice de dimension m x 1
Matrice Carrée d’ordre n
Une matrice de dimension n x n
La diagonale principale d’une matrice carrée A= (aij) non
La suite des éléments a11, a22, a33, …, ann.
Matrice carrée triangulaire supérieure
Quand tous les éléments situés au- dessous de la diagonale principale sont nuls
Matrice carrée triangulaire inférieure
Quand tous les éléments situés au- dessus de la diagonale principale sont nuls
Matrice carrée diagonale
Quand tous les éléments qui ne sont pas situés sur la diagonale sont nuls
Matrice carrée identité
Quand tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1 et que tous les autres éléments sont nuls. On note In la matrice identité d’ordre n. IA= A et AI=A
Matrice B= (bij) m x n carrée
matrice opposée de la matrice A- (aij) m x n quand bij= - aij pour tous i et j.
Deux matrices A et B sont égales si et seulement si…
Elles ont les mêmes dimensions
aij = bij pour tous i et j
La somme de deux matrices de même dimension A= (aij) min et B=(ij) m x n
définie par la matrice A + B = (aij + bij) mxn
Si M est l’ensemble des matrices de dimensions une matrice (aij) mxn et c un réel:
le produit de A par le scalaire c, noté cA, est la matrice: cA= (caij) mxn
Opérations matricielles Théorème 1, addition et multiplication par un scalaire
Soit A, B et C des matrices de même taille, et r et s des scalaires
a. A+ B = B+A
(commutativité)
b. A + (B + C) = (A + B) + C
(associativité) A + R1= R2 + C
c. A+0 = A
(élément neutre pour l’addition)
d. r (A + B) = rA + rB (AB pas= BA)
e. (r+s)A =rA+ SA
f. (rs) A = (rs) A
Multiplication matricielle: portrait des colonnes pour le calcul de AB
Soit A une matrice m × n et B une matrice de taille n × p dont on note les colonnes b1, …., b. On appelle produit de A et B, et l’on note AB, la matrice m × p dont les colonnes sont AB= Ab1, ….., Abp ,
Multiplication matricielle: règle ligne- colonne pour le calcul de AB
Soit A une matrice m × net B est une matrice n × p.
* Le résultat pour multiplier A et B est une matrice C de dimension
m × р
Amxn × Bnxp = Cmxp
- le coefficient de la ligne i et de la colonne j de AB est:
Cij = (AB); = (la i-ième ligne de A) × (la j-ième colonne de B)
Propriété de la multiplication matricielle
Soit A une matrice m × n, et B et C deux matrices de telles que les sommes et les produits ci-dessous aient un sens.
a. A(BC) = (AB)C (associativité de la multiplication)
b. A(B + C) = AB + AC (distributivité à gauche)
c. (B + C)A = BA + CA (distributivité à droite)
d. r(AB) = (rA)B A(rB) pour tout scalaire r
e. ImA = A = A In (élément unité pour la multiplication)
Attention:
AB = BA Faux
Si AB = AC alors B = C Faux
Si AB = 0 alors A = 0 ou B = 0 Faux
Puissances de matrices
Soit A une matrice n x n et k un entier strictement positif. On note A^k, le produit de k matrices égales à A: A^k= A…A = k fois
Propriétés relatives à la transposée d’une matrice
Soit A une matrice m x n, on appelle transposée de A la matrice n x m, notée A^T dont les colonnes sont formées des lignes de A. AmnT= Anm ou aijT= aji
Théorème 3
Soit A et B deux matrice dont les tailles sont compatibles ave les sommes et les produits écrits ci-dessous. Alors:
a. (A^T)^T = A
b. (A+B)^T = A^T + B^T
c. Pour tout scalaire r, (rA)^T= rA^T
d. (AB)^T = B^TA^T
(AB)T pas égal à A^TB^T !!!!
Inverse d’une matrice
On dit qu’une matrice A de type n x n est inversible s’il existe une matrice de type n x n telle que:
CA= I et AC= I
ou I= identité
Ax= b et x^-1= A^-1b
ou x^-1 n’existe pas (il faut que la matrice soit carré)
Théorème 4
Soit A= (a b c d) une matrice 2 x 2. Si ad - bc pas égal à 0, alors A est réversible. des (A) = ad - bc pas égal 0
A^-1= 1/(ad - bc) (d -b -c a)
si ad - bc=0 n’est pas inversible
remarque: une matrice non inversible est dite aussi singulière (= 0 ou infinité de solution)
Si inversible= non singulière
Théorème 5
Soit A est une matrice n x n inversible (non singulière), alors pour tout vecteur b de R^n, l’équation Ax=b admet pour unique solution le vecteur x= A^-1b.
Théorème 6
Si A est une matrice inversible, alors A^-1 est inversible et
(A^-1)^-1 = A
b. Si A et B sont deux matrices n × n inversibles, alors AB est inversible, et l’inverse de AB est le produit des inverses de A et B dans l’ordre inverse.
(AB) ^-1= B^-1A^-1
Tapez une équation ici.
c. Si A est une matrice inversible, AT l’est aussi
((A)^T)^-1 = (A^-1)^T
Matrice élémentaire
Une matrice obtenue à partir d’une matrice unité par une seule opération élémentaire sur les lignes (Ann=In et après In=A^-1)
1er remarque: on a à résoudre Ax=b (A/b)
2eme remarque : si on a à résoudre Ax=b (A/b) et (A/b*), on peut résoudre simultanément les 2 systèmes
3ieme remarque: On cherche les colonnes de la matrice inverse et on peut le faire si on le trouve et ce qui donne est la matrice inverse
Matrice élémentaires
Toute matrice élémentaire Eij est inversible. L’inverse de Eij est la matrice élémentaire de même type qui transforme Eij en I.
Matrice de permutation Pij
la matrice identité avec les lignes i et j permutées
Théorème 7
Une matrice A de type n × n est inversible si A est équivalente selon les lignes à In et, dans ce cas, toute suite d’opérations élémentaires sur les lignes qui transforme A en In transforme In en A^-1.
Idée de Gauss- Jordan
Ainsi, pour inverser la matrice A de format n × n dont les éléments sont les aj, on utilisera la matrice augmentée suivante
La transformation de Gauss-Jordan consiste à transformer ce système en un système équivalent dont le bloc gauche est l’identité, c’est-à-dire qu’il faut modifier la matrice [A||] pour qu’elle devienne de la forme [I|A “ en utilisant les propriétés de l’algorithme.
Étapes de la méthode de Gauss- Jordan pour le calcul de l’inverse de A
Afin de trouver l’inverse de la matrice A:
1. On forme la matrice augmentée du système Al].
- On utilise la procédure d’élimination de Gauss pour générer des zéros au dessous des pivots.
- On utilise la procédure d’élimination de Gauss pour générer des zéros au dessus des pivots.
- On divise chaque ligne par son pivot, les nouveaux pivots sont 1.
- On génère alors la matrice [IA-‘) à partir de [A||].
La matrice I est alors obtenue dans la première moitié de la matrice augmentée tandis que l’autre moitié contient les colonnes de la matrice inverse.
Algorithme de Gauss- Jordan
Lélimination de Gauss peut se traduire par une suite de multiplications de matrices:
[A/I ]vers [I/A-1];
Matrice des
(D-1….E…P…E)A = 1
- E: réalise l’élimination de Gauss ou génère des zéros au dessous et au-dessus des pivots.
- P: faire des permutations de lignes si nécessaire.
- D-1: divise par des pivots. di pas = à 0
Une matrice diagonale a un inverse à condition qu’aucun coefficient sur la diagonale ne soit zéro
Un autre point de vue de l’inversion de la matrice
Résoudre AA-1 = I en trouvant chaque colonne de A-1.
* On cherche les colonnes de A-1 = [X1 X2 X3] tel que:
AA-1 = A [X1, X2, X3] = [e1, e2 e3] = I
- Ax1; = e1 = (1,0, 0) donnera la première colonne de A-1
- Ax2 = e2 = (0, 1,0) donnera la deuxième colonne de A-1
- Ax3 = e3 = (0,0, 1) donnera la troisième colonne de A-1
Théorème 8
Une matrice A de type n x n est inversible. Les propriétés suivantes sont équivalentes:
a. A est inversible.
b. A admet n pivots
c. L’équation Ax = 0 admetla solution triviale pour unique solution.
d. Les colonnes de A sont linéairement indépendantes.
e. Les colonnes de A engendrent R^n.
f. Pour tout vecteur b de R, l’équation Ax = b admet une solution unique.
g. Il existe une matrice C de type n × n telle que CA = 1.
h. Il existe une matrice D de type n X n telle que AD = I.
i. A^T est inversible.
Remarques importantes
Si A est inversible, alors:
1) L’inverse est unique AB = / = CA <=> B = C = A^-1.
2) L’unique solution de Ax = b est x = A^-1b.
3) Il n’existe aucun x # 0 tel que Ax = 0 car Ax = 0 <=> x= A^-1= 0
4) Si det (A) = ad - bc # 0, alors A-1 existe
5) Une matrice diagonale a un inverse à condition qu’aucun coefficient sur la diagonale ne soit zéro
6) Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si aucun de ses coefficients diagonaux n’est nul.
Récapitulatif 1
L’inverse existe si et seulement si l’ ́elimination produit n pivots (pour A une matrice carrée).
Si on obtient au moins un pivot nul, on arrête la procédure et alors A n’est pas inversible.
Si A est inversible, la seule et unique solution de Ax = b est x = A -1b.
Si A est inversible, alors Ax =0 peut seulement avoir la solution zéro
x = A -10 = 0.
Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
Une matrice diagonale/triangulaire supérieure/triangulaire inférieure a un inverse à condition qu’aucun coe fficient sur la diagonale ne soit zéro.
Si A est symétrique par rapport à sa diagonale principale, alors A -1 l’est aussi.
Récapitulatif 2
Afin de trouver l’inverse de la matrice A:
1 On forme la matrice augmentée du système [A|I].
2 On utilise la procédure d’élimination de Gauss pour générer des zéros au dessous des pivots.
3 On utilise la procédure d’élimination de Gauss pour générer des zéros au dessus des pivots.
4 On divise chaque ligne par son pivot, les nouveaux pivots sont 1.
5 On génère alors la matrice [I|A- 1] à partir de [A|I].
La matrice I est alors obtenue dans la première moitié de la matrice augmentée tandis que l’autre moitié contient les colonnes de la matrice inverse.
