Munka, energia

Question 1

MUNKA

• Erő munkája?

Answer 1

Az energiának az egyik testről a másikra való átvitele.

• Az az energia, amelyet az erőt létrehozó rendszer a testnek átad.

Question 2

TELJESÍTMÉNY

Answer 2

A „munka sebessége”. Az erő skaláris szorzata a sebességgel, illetve a munka idő szerinti deriváltja.
Δt idő alatt a munka időbeli sebessége:
ΔW/Δt = FΔ_r_/Δt
Ha Δt —> 0: P = dW/dt = Fd_r_/dt = F*v

Question 3

POTENCIÁLIS ENERGIA

• potenciál?

Answer 3

A rendszer tárolt energiája (tehát a teljes rendszeré, nem egy adott ponté). Adott konzervatív erőhöz tartozik és a tér egy pontjához egy skalárt rendel.

• A rendszer munkavégző képessége.

Question 4

KONZERVATÍV ERŐK

• Pl.?
• Miért zérus zárt görbére?
• Fontos tulajdonság a mechanikai energiával kapcsolatban?
• Konzervatív rendszer?
• Nem-konzervatív erők?
• Potenciális energiafüggvény?

Answer 4

Olyan erők, amelyek munkavégzése csak a kezdő- és végponttól függ, azaz munkavégzésük tetszőleges zárt görbén zérus.
∫A^B(F _)d_r = állandó és ∮(F)*d_r = 0

• Gravitációs erő
• Mert A-ból B-be, majd B-ből A-ba (negatív AB) menve a potenciális energiák változásai kiejtik egymást.
• Konzervatív erő által végzett munka teljes egészében mechanikai energiává alakul (és a folyamat megfordulásakor a tárolt energia munkavégzésre fordítódik).
• Egy rendszer konzervatív, ha csak konzervatív erők hatnak.
• Olyan erők, amelyek munkája függ az úttól (súrlódás), illetve amelyek függnek az időtől vagy s sebességtől (légellenállás).
• Minden konzervatív erőhöz létezik egy potenciális energia függvény, és a potenciális energia értéke mindig csak a helykoordinátáktól függ.
U(x1) – U(x2) = ∫_x1^x2 F(x)dx
1D: ΔU = –ΔW —> F(x)*Δx = –ΔU —> F(x) = –dU/dx
3D: F(r) = F(x,y,z) = –gradU = –∇U

Question 5

Állandó erő munkája?

• Egyenes vonalú mozgás?
• Görbe vonalú mozgás, (azaz a munka általánosabban)? A testet a felülethez nyomó erő miért nem végez munkát?

Answer 5

• Erő munkája az erő elmozdulás irányába eső összetevőjének és az elmozdulás nagyságának szorzatával egyenlő (a.k.a. a kettő skaláris szorzata).
W = Fcosθs, tehát a szögtől függően lehet negatív is, és mechanikai ételemben akkor van munkavégzés, ha nem nulla az elmozdulás.
• A munka az erőnek az elmozdulás (vektormérték) szerinti vonalintegrálja.
W = ∫_r(a)^r(b)F_Δ_r — a vektorok miatt ez az öszefüggés koordinátarendszertől függetlenül definiálja a munkát.
Az N nyomóerő nem végez munkát, mivel merőleges a felületre, így az elmozdulásra is, tehát skaláris szorzatuk nulla.

Question 6

Változó erő munkája?

• Geometriai jelentés?

Answer 6

Munka egy kis szakaszon: ΔW = F(x)*Δx, ahol F(x) az erő változása az x függvényében. Ha az a–b szakaszt, amin a test mozog felosztjuk kis Δx_i szakaszokra (amelyek F(x_i)-szel való szorzata, azaz a ΔW, a függvény ábrázolásánál az F(x_i) magasságú téglalap területe), akkor az ezeknek az adott F(x_i) értékekkel való szorzataik összege fogja kiadni az összes munkát közelítőleg. Ha a szakaszt N db Δx_i-re daraboljuk és N —> végtelen, akkor az F(x) x szerinti határozott integrálját kapjuk. Tehát a változő erő munkája az erő hely szerinti integrálja:
W = ∫_a^b[F(x)]dx

• A függvénygörbe alatti terület.

Question 7

KINETIKUS ENERGIA

• Előjele?

Answer 7

Az energiának az a formája, ami a test mozgása következtében alakul ki.
K = 1/2mv^2

• A v irányától függetlenül mindig pozitív értékű skalármennyiség.

Question 8

MUNKATÉTEL

• Levezetés?
• Lényeg?
• Körmozgás esetén?
• Változó erő esetén? Integrálszámítással levezetés?

Answer 8

Az eredő erő munkája ponteszerű testen: ΔW = ΔK

• Állandó erő, azaz állandó gyorsulás esetén érvényes a v^2 – v0^2 = 2a(x–x0) összefüggés. Leosztva kettővel és beszorozva m-mel: 1/2mv^2 – 1/2mv0^2 = m*a(x–x0), ahol a jobb oldal éppen az eredő erő munkája, amely az az energia, amelyet az erőt létrehozó rendszer a testnek átad. Az eredő erő gyorsítja a testet, amely ennek következtében kinetikus energiához jut.
• Az eredő erő munkája következtében a testre átvitt energia a test mozgási energiáját növeli.
• Állandó nagyságú sebesség esetén a centripetális eredő erő munkája és így a kinetikus energia megváltozása nulla, mert az erőnek nincs az elmozdulás irányába eső komponense. Ha a sebesség nagysága nem állandó, lesz tangenciális gyorsulás, így tangenciális erőkomponens is – kizárólag ez fogja okozni a mozgási energia megváltozását.
• A munkatétel változó erő esetén is ugyanilyen formában érvényes, függetlenül attól, hogy változik az erő. A gyorsulás definíciójából (v deriváltja) a láncszabállyal és a munka integrálós definíciójával le lehet vezetni integrálással is a munkatételt.

Question 9

MECHANIKAI ENERGIA MEGMARADÁSTÖRVÉNYE

• Levezetés?
• Következmény?

Answer 9

E0 = E —> U0 + K0 = U + K

• Környezettől elszigetelt konzervatív rendszerben: ΣFΔr = –ΔU. A munkatétel szerint: ΣFΔr = ΔK.
A kettő együtt: –ΔU = ΔK —> –(U – U0) = K – K0 —> U0 + K0 = U + K. Tehát konzervatív rendszerben a teljes E = U + K mechanikai energia megmarad.
• A rendszerben bekövetkező folyamattól függetlenül a rendszer energiája mindig ugyanannyi és nem kell törődni a kcsh. részleteivel.

Question 10

Energiadiagram?

Answer 10

Harmonikus rezgőmozgás esetén: E = 1/2kA^2 = 1/2kx(t)^2 + 1/2mv(t)^2 = 1/2mv(max)^2
Az energiadiagramon az összes mechanikai energia görbéje konstans, hiszen megamarad. A potenciális energia felfele nyitott parabola, mivel a potenciál itt parabolikus, a kinetikus energia görbéje meg lefele nyitott parabola a negatív előjel miatt. A test ebben a potenciálgödörben mozog, mivel a rugóerő visszatérítő erő.