Harmonikus rezgőmozgás

Question 1

Rugón mozgó (rezgő) test mozgásegyenlete?

• Általános megoldás?
• Mi micsoda?
• Milyen mozgást ír le?
• Sebesség? Gyorsulás?

Answer 1

Az eredő erőt a rugóerő adja: –kx(t) = m(d^2x/dt^2) —> d^2x/dt^2 = –k/m*x

• x(t) = Acos(ωt+ φ), mivel a cos meg sin fv.-ek olyanok, hogy a kétszeres idő szerinti derivált megegyezik az eredeti fv. negatív többszörösével.
• ω: körfrekvencia — ω = √(k/m) (nem lehet akármi, értéke mindig állandó)
A: amplitúdó — periodikus mozgás legnagyobb kitérése (akármi lehet)
φ: kezdőfázis — tetszőleges radiánban mért állandó (akármi lehet)
• Egyszerű harmonikus rezgőmozgást. (Egyszerű, mert egyetlen frekvenciával jellemezhető, nem csak több egyidejűleg fellépővel.)
• v(t) = dx(t)/dt = –Aωsin(ωt + φ)
a(t) = d^2x(t)/dt = –Aω^2cos(ωt+ φ) = –ω^2x

Question 2

Energiamegmaradás harmonikus rezgőmozgás esetén?

• Sebesség kifejezése?

Answer 2

Az összenergia állandó marad, az energia folyamatosan oda és vissza alakul a potenciális és kinetikus energiaforma között (ha nincs súrlódás, tehát a rendszer zárt):
E(mech) = 1/2mv^2 + 1/2kx^2 = 1/2kA^2 = 1/2mv(max)^2
* remember energiadiagram *

• 1/2mv^2 + 1/2kx^2 = 1/2kA^2 —> v = +–√[k/m*(A^2 – x^2)]

Question 3

Kapcsolat az matematikai inga mozgása és a harmonikus rezgés között? Miért?

• Levezetés?
• Szögkitérésre összefüggés (azaz a diff.egyenlet megoldása)?
• Periódusidő?

Answer 3

Kis kitérés esetén az inga mozgása megközelítőleg harmonikus rezgőmozgás, mivel sinζ megközelítőleg ζ kicsi szög esetén.

• A gyorsuláskomponensek felírva: a = –Rθ’^2e(r) + Rθ”e(θ) —> ma = F(r)e(r) + F(θ)e(θ), ahol e(r) radiálisan kifele, e(θ) meg arra merőlegesen mutat.
Ebből az ingán lengő testre az erőket felírva: mlθ” = –mgsinθ —> θ” = –g/lsinθ ≈ –g/lθ kis szögekre.
• θ(t) = θ(max) * cos(ωt + φ)
• T = 2π√ (l/g)

Question 4

Közegellenállással csillapított rezgés mozgásegyenlete?

• Egyenlet megoldása?
• Hogy csökken?
• Különböző esetek?

Answer 4

mx” = –kx – bx’ —> x’’ + 2βx’ + (ω_0)^2x = 0, ahol
— b a csillapítási tényező
— 2β = b/m
— ω0 = √(k/m) a sajátfrekvencia, amivel súrlódás nélkül mozogna

• x(t) = A(t)cos(ωt + φ) = A0e^(–ct)cos(ωt + φ)
Visszahelyettesítve a mozgásegyenletbe és kiemelve a koszinuszos meg szinuszos tagokat:
cos(ωt + φ)[c^2 – ω^2 – 2βc + ω0] + sin(ωt + φ)[2cω – 2βω] = 0
Ez csak úgy lehet mindig 0, hogy:
[2cω – 2βω] = 0 —> c = β és
[c^2 – ω^2 – 2βc + ω0] = 0 —> ω = √(ω_0^2 – β^2) (< ω0, azaz a csillapított rezgés lassabb, mint a nem csillapított)
• Az amplitúdó exponenciálisan csökken, mivel a súrlódás disszipatív erő, így folyamatosan csökkenti a rezgő test energiáját.
• alulcsillapított eset: ω_0^2 > β^2 —> x(t) = A0e^(–βt)cos(ωt + φ)
túlcsillapított eset: ω_0^2 < β^2 —> x(t) = A0e^(–βt)(A1e^(–ωt) + A2e^(ωt)) — olyan erős a csillapítás, hogy nem is rezeg
kritikus csillapítás: ω_0^2 = β^2 — a rezgő test „túlfutásmentesen” gyorsan újra egyensúlyi helyzetbe kerül

Question 5

REZONANCIA

• Ha nincs csillapítás kényszerrezgésnél? Rezonanciafrekvencia?
• Mi van ilyenkor az amplitúdóval? Sebesség?
• Példa?

Answer 5

Az a jelenség, amelynél a rendszer a rá alkalmazott impulzusok közül bizonyos sajátfrekvenciákra szelektíven reagál.

• Ha β = 0 (azaz b = 0): A(ω) = A0*ω0^2/|ω0^2 – ω^2|
Rezonanciafrekvencia: ω_0 = ω (ω: gerjesztési frekvencia, ω_0: rendszer sajátfrekvenciája)
• Ha nem lenne valamilyen formában csillapítás (ami obviously nem lehetséges), akkor az amplitúdó felugrana a végtelenbe. A sebesség ekkor a legnagyobb.
• Hangszórók tervezése (széles rezonanciagörbe bizonyos frekvenciák túlzott kiemelésének elkerülése végett).

Question 6

Frekvencia és periódusidő?

• Amplitúdóval kapcsolatos fontos jellemző?

Answer 6

A k/m = ω^2 és ω = 2πf összefüggések alapján:

f = 1/2π*√(k/m)
T = 1/f = 2π*√(m/k)

• A harmonikus rezgőmozgás fontos jellemzője, hogy a f és T nem függenek az amplitúdótól, tehát a rugóból és a rajta lévő testből álló rendszer mindig ugyanazzal a frekvenciával fog rezegni függetlenül a mozgás amplitúdójától.

Question 7

Körmozgás és harmonikus rezgőmozgás kapcsolata?

Answer 7

Geometriai modell a referenciakör, ahol egy P pont egy A sugarú körön állandó ω szögsebességgel mozog. Az A sugárnak az x tengellyel bezárt szöge ωt + φ (ha folt kezdőfázis is). Ha Q a P pont merőleges vetülete az x tengelyre, Q mozgását a P x koordinátái adják meg, ami pont harmonikus rezgőmozgást ír le.

Question 8

Rezgés nehézségi erőtérben?

Answer 8

Ha van g, más pont körül fog rezegni:
mx” = –kx + mg —> x” + ω^2x = g
x(t) = Acos(ωt + φ) + x0, ahol x0 = m*g/k

A rugó már nyugalmi állapotában ki van térítve, hogy az egyensúly megmaradjon:
ΣF = kd – mg = 0
Ha a test y távolságra ki van mozdítva felfele:
k(d – y) – mg = ma, de az előző miatt ez –ky = m*a lesz.
Konklúzió: függőleges rugón függő test harmonikus rezgőmozgását, ha az origót az egyensúlyi helyzetbe választjuk, ugyanazok az egyenletek írják le, mint sima vízszintesben. A frekvencia, a rezgésidő, az energia és a többi egyenlet is független attól, hogy vízszintes vagy függőleges-e a mozgás.

Question 9

KÉNYSZERREZGÉS

• Egyenlet megoldása?
• Összefoglalva?

Answer 9

A csillapított(?) harmonikus rezgőmozgást végző testre egy külső gerjesztő erő is hat.

x0(t) = A0*cos(ωt), ahol ω az állandó gerjesztési frekvencia
m*x” = –b*x’ – k*(x(t) – x0(t)) —> x” + 2βx’ + ω0^2 = ω0^2*x0 = A0*ω0^2*cos(ωt) = a0*cos(ωt)

• x(t) = A(ω)cos(ωt – φ(ω)), ahol φ(ω) a fáziseltolódás, azaz a szög, amivel lemarad miután beállt a kényszerítő erő frekvenciájára.
Visszahelyettesítve az eredeti mozgásegyenletbe:
tgφ = 2βω/(ω0^2 – ω^2) és
A(ω) = A0ω0^2/√[(ω0^2 – ω^2)^2 + 4β^2ω^2]
• Az átmeneti szakasz lecsengése után a test a gerjesztő frekvenciával stacionárius rezgést végez és a gerjesztő erő fázisától φ szöggel elmarad.