Gravitáció

Question 1

KEPLER-TÖRVÉNYEK

Answer 1

I. A bolygók ellipszispályán keringenek a Nap körül, amely egy fókuszpontjában a Nap van.

II. A területi sebesség állandó. (Másképp: a bolygóhoz húzott vezérsugár egyenlő idők alatt egyenlő területeket súrol.
területi sebesség: q = T/Δt

III. Bolygók T keringési időtartamának négyzete arányos a bolygók Naptól mért középtávolságának köbével.
T^2/R^3 = állandó

Question 2

Newton-féle gravitációs törvény

• Levezetés?

Answer 2

F = G*M*m/r^2, ahol G a gravitációs állandó (amit Cavendish mért meg torziós ingával)
F(1–>2) = G*M*m/|r1 – r2|^2*(r1 – r2)/|r1 – r2|, ahol (r1 – r2)/|r1 – r2| az m-től M felé mutató egységvektor

• T^2/R^3 = C, v = 2πR/T
F(g) = F(cp) = mv^2/R = m/R4π^2R^2/T^2 = 4π^2m/C*1/R^2, tehát a gravitációs erő arányos lesz 1/R^2-tel.

Question 3

CENTRÁLIS ERŐK

• Következmény forgatónyomatékkal kapcsolatban?
• Miből következik, hogy a bolygók síkmozgást végeznek?
• Kepler II. törvénye? Következmény?

Answer 3

Olyan vonzó vagy taszító erők, amelyek hatásvonala mindig egy rögzített ponton megy át.

• Mivel az erők hatásvonala átmegy az origón, az r helyvektorok és az F erővektorok mindig párhuzamosak lesznek, tehát forgatónyomatékuk nulla. Ekkor M = L’ = 0, tehát L = állandó.
• L = r x p = mr x v —> L merőleges r-re és v-re is.
• v = r’e(r) + rθ’e(tg) (v = v0 + ω x r)
L = mr x v = mr^2θ’e(z) = 2mq*e(z), tehát Kepler II. törvénye ekvivalens azzal, hogy az impulzusmomentum állandó. A gravitációs erőtér valóban centrális.

Question 4

GRAVITÁCIÓS TÉRERŐSSÉG

• Irány?

Answer 4

Az egységnyi tömegre ható gravitációs erő.
g = F/m = –GM/r^2(r^), ahol r^ az M tömegponttól az m felé mutató egységvektor.

• g mindig a mezőt létesítő test felé mutat.

Question 5

GRAVITÁCIÓS POTENCIÁLIS ENERGIA

Answer 5

U(r) = –∫_0^r F(g) dr = – GMm/r

Az integrálás útja teljesen tetszőleges, mert a gravitációs erőtér konzervatív.

Question 6

KOZMIKUS SEBESSÉGEK

Answer 6

Első kozmikus sebesség: Föld körüli pálya
v(I) = √(g*R(F)), az F(g) = F(cp) összefüggésből.

Második kozmikus sebesség: Föld elhagyása
v(II) = √ 2v(I), az E(mech.) = K + U(g) = 0 összefüggésből.

Harmadik kozmikus sebesség: Naprendszer elhagyása
v(III) is az E(mech.) = 0 összefüggésből.

Question 7

Energiaviszonyok?

• Esetek?

Answer 7

Mivel a gravitációs erőtér konzervatív és centrális, az összenergia és az impulzusmomentum is megmarad: E(mech.) = K + U = állandó. K mindig pozitív, de U lehet bármilyen előjelű és nulla is.
— E(mech.) < 0: kötött pálya (ellipszis)
— E(mech.) = 0: elmegy a végtelenbe, ahol v = 0 lesz (parabola)
— E(mech.) > 0: elszakadás (hiperbola)