Forgómozgás Flashcards
FORGATÓNYOMATÉK
- Hatásvonal?
- Erőkar?
- Forgatónyomaték másképp?
- Forgatónyomaték-vektor? Jellemzők?
Egy testre ható erőnek az a hatása, amely a testnek a rögzített tengely körüli forgását eredményezi.
M = Frsinθ,
ahol θ az r és F vektorok által bezárt szög.
Az erőnek csak az r vektorra merőleges komponense hatásos: M = F(merőleges)*r.
• Az erővektor mentén rajzolt, mindkét irányban meghosszabbított egyenes.
• Az erő hatásvonaláig a forgástengelytől mért merőleges távolság: d = rsinθ
• Az F erő adott tengelyre vonatkozó nyomatéka.
• M = r x F —> |M| = rF*sinθ
A jobbkéz-szabálynak megfelelően definiált vektor, a forgástengellyel párhuzamos. A forgás irányát fejezi ki önálló vektorként.
SÚLYPONT
• Homogén erőtér esetén?
Az a pont, ahol a gravitációs erőhatást egyesítve képzeljük (hogy a gravitációtól származó forgatónyomatékot ki lehessen számítani).
r(SP) = Σr(i)*w(i)/Σw(i), ahol a w(i)-k a merev test egyes atomjaira ható gravitációs erő.
• Homogén erőtér esetén a súlypont egybeesik a tömegponttal. (A Föld esete viszont pl. nem ilyen, mert a Nap gravitációs tere inhomogén.)
Erőrendszer redukálása?
• Merev test esetén? Kivétel? Levezetés?
Több erő helyettesíthető egy másik erővel, de más lesz a támadáspont.
• Merev testre ható erőrendszer helyettesíthető egy erővel. Kivéve erőpárok esetén.
M(e) = M1 + M2 = (r1 x F1) + (r2 x F2) = (r’1 x F1) + (r’1 x F2) = r’1 x (F1 + F2)
Merev testek egyensúlya?
- Egyensúly típusai? Mitől függenek?
- Dinamikai feltételek?
• — stabil: csekély elmozdulás vagy elfordulás emeli a súlypontot (a gravitációtól származó forgatónyomaték igyekszik visszaállítani az eredeti helyzetet)
— instabil: kis elmozdulás vagy elfordulás következtében süllyed a súlypont (a gravitáció hatására a súlypont tovább süllyed)
— indfferens: a test súlypontja magasságának megváltozása nélkül mozdul el
Testek stabilitása attól függ, hogy a súlypontjuk az alátámasztáshoz képest hogyan helyezkedik el.
• 1. Transzlációs egyensúly: ΣF(külső) = 0
2. Forgási egyensúly: ΣM(külső) = 0 (bármely tengelyre)
3. A test nyugalomban van: v = 0
Forgómozgást leíró mennyiségek?
• Kinematikai egyenletek?
A forgó test minden pontja körmozgást végez.
— szögelfordulás: θ = ívhossz/r
— szögsebesség: ω(átl.) = Δθ/Δt, ω(pill.) = lim(Δt —> 0)Δθ/Δt = dθ/dt
— szöggyorsulás: β(átl.) = Δω/Δt, β(pill.) = lim(Δt —> 0)Δω/Δt = dω/dt
— kerületi sebesség: s = rθ —> v = rdθ/dt = rω
— tangenciális gyorsulás: a_t = rdω/dt = rβ
— centripetális gyorsulás: v = r ω —> a(cp) = v^2/r = r*ω^2
• Ugyanazok, mint transzlációs mozgásoknál, csak az egyes mennyiségek helyére azok szögekkel kifejezett megfelelőit kell behelyettesíteni.
Forgómozgás sebességének leírása vektorokkal?
• Szabadsági fok?
Forgómozgás = rotáció + transzláció v(i) = v0 + ω x r(i), ahol kitüntetett ponttól függetlenül ω a test állapotát jellemző vektor.
• Ahány adatra szükség van ahhoz, hogy egy fizikai rendszer állapota ismerhető lehessen. Merev test mozgása esetén ez 6, tömegpont esetén 3.
Tisztán gördülés?
• Pontok sebessége?
Amikor a kerék csúszás nélkül gördül vísszintes felületen, tehát a felületek egymáshoz képest nem mozdulnak el. A mozgást úgy tekintjük, hogy külön a TKP transzlációs (egyenes vonalú haladó) mozgásából és a TKP körüli forgómozgásból tevődik össze. A kettő mozgás egymással kapcsolatos, mivel nem csúszik meg a kerék.
• Ha összeadjuk külön a transzlációs és a forgómozgásból származó sebességvektorokat, akkor az eredő sebesség a kerék egyes pontjaiban: v = v(TKP) + v(tangenciális). Ez alapján kijön, hogy a talajjal érintkező pont sebessége 0, a legfelső pontté pedig a v(TKP) kétszerese. Általában: bármely pont pillanatnyi sebessége merőleges a kerék és a talaj pillanatnyi érintkezési pontjából a pontba mutató helyzetvektorra. Ezért mozog a kerék minden pillanatban a pillanatnyi érintkezési pont körül.
TEHETETLENSÉGI NYOMATÉK
- Levezetés a kinetikus energiából?
- Jellemzők?
A test forgó mozgásának gyorsulásával szemben kifejtett ellenállás mértéke.
— tömegpontrendszer: Θ = Σm(i)*ρ(i)^2
— folytonos tömegeloszlás: Θ = ∫(r^2)dm
- K(f) = Σ1/2m(i)v(i)^2 = Σ1/2m(i)ρ(i)^2ω^2 =1/2(Σm(i)ρ(i)^2)ω^2 = 1/2Θω^2 (Minden részecske szögsebessége azonos, így v(i) = ρ(i)*ω, ahol ρ(i) az egyes részecskék forgástengelytől mért távolsága)
- Függ a test alakjától, tömegeloszlásától és a tengely helyzetétől (tehát egy testnek csak úgy nincs forgatónyomatéka). A testre jellemző szám, forgás közben már nem változik.
IMPULZUSMOMENTUM
- Kapcsolat a forgatónyomatékkal tömegpont és pontrendszer esetén? Levezetés?
- Merev testek tengely körüli forgása esetén (z komponens, kényszererők)?
Egy tömegpontra ható p impulzus forgástengelyre vonatkozó nyomatéka.
L = r x p, |L| = mvr = mr^2ω
• Az impulzusmomentum deriváltja a forgatónyomaték.
Tömegpont esetén: L’ = (r x p)’ = r x ma = r x F = M
Pontrendszer esetén: L’(össz) = L1 + L2 = M1(külső) + M2(külső) = ΣM(i)(külső), mivel a belső erők forgatónyomatékainak összege nulla (mivel az egyes erők Newton III. miatt átírhatók egymás mínusz 1-szereseivé, így ki lehet őket emelni és a maradék r1 – r2 párhuzamos az erőkkel tehát a vektoriális szorzatuk nulla).
• A z komponens esetén nem számítanak a kényszererők, mert azok támadáspontjának távolsága a forgástengelytől 0, így: L(z) = Σm(i)(r(i) x v(i)) = Σm(i)[r(i) x (ω x r(i))] = (Σm(i)ρ(i)^2)ω(z) = Θω(z) —> L = Θ*ω
Forgómozgás alapegyenlete?
ΣΜ(külső) = Θ*β ΣM(z)(külső) = dL(z)/dt = Θ*dω(z)/dt = Θ*β(t)
Impulzumomentum megmaradása?
• Tömegeloszlás változása forgás közben? Szöggyorsulás?
Zárt rendszerben az eredő forgatónyomaték nulla, így a perdület időben állandó.
• Ha a tömegeloszlás megváltozik belső erők hatására, pl. Θ csökken, akkor ω nő a perdületmegamaradás miatt, tehát β lehet nemnulla, ha ΣM(külső) = 0.
Forgó testen végzett munka?
- Levezetés?
- Mechanikai energia megmaradása?
ΔW = M*Δθ —> W = ∫_θ1^θ2 M dθ
- A tangenciális erőkomponens kis θ szöggel elfordul: Δs = rΔθ —> ΔW = F(tang.)Δs = F(tang.)rΔθ = M*Δθ
- Zárt rendszerben a forgómozgásra is érvényes ugyanúgy.
Impulzusmomentum-tétel a TKP körüli forgásra?
• Síkmozgás a TKP-on átmenő tengely körül (forgómozgás alapegyenlete a TKP-ra)?
Egy test TKP-jára vett perdületének változási sebessége egyenlő a TKP-ra vett külső forgatónyomatékok eredőjével még akkor is, ha a test TKP-ja elmozdul.
ΣM(külső) = dL/dt
• ΣM(külső) = Θ*β(TKP)
STEINER-TÉTEL (párhuzamos tengelyek tétele)
Θ = Θ(TKP) + M*d^2, ahol d a két tengely távolsága. Szavakkal: az új tengelyre vett Θ megegyezik a test TKP körüli forgásának és a TKP új tengely körüli körön végzett mozgásának eredőjével.
PRECESSZIÓ
Merev test forgástengelyének forgatónyomaték hatására bekövetkező elmozdulása. Kialakulásának oka, hogy az L impulzusmomentum vektor követni igyekszik az M forgatónyomaték vektor irányát.
