IMPULZUSMEGMARADÁS TÉTELE
- Levezetés?
- Külső erők?
- Mi következik abból, hogy ez vektoregyenlet?
- Milyen koordinátarendszerekben érvényes tehát?
Zárt rendszerben tömegpontok impulzusának összege állandó.
Σp0 = Σp
- Pl. ütközéskor két részecskére ható erők Newton III. miatt: F_a = –F_b. Newton II. szerint ez: dp_a/dt = –dp_b/dt. Átalakítva: d/dt(p_a + p_b) = 0, tehát a p_a + p_b vektori összeg az ütközés során nem változik.
- A tétel csak akkor működik, ha a rendszer zárt, azaz a külső erők eredője zérus. (De viszont minden zárt rendszerre működik.)
- Az, hogy az impulzusmegmaradás a komponensekre is külön-külön igaz.
- Inerciarendszerekben, méghozzá bármilyen inerciarendszerből szemlélve érvényes.
ERŐLÖKÉS
- Levezetés? “Geometriai” értelmezés?
- Iránya?
- Mértékegység?
- Átlagerő?
Az erő idő szerinti integráltja, azaz az impulzusváltozás.
∫_t0^t F dt = Δp
- Newton II.: F = dp/dt. Leintegtálva a két oldalon: ∫_t0^t F dt = ∫_p0^p dp, ahol ∫_p0^p dp = Δp. Az erőimpulzus az F(t) görbe alatti terület a kcsh. időtartama alatt.
- Vektormennyiség és az iránya megegyezik az impulzusváltozás irányával.
- Ns, másképp kg * m/s.
- Kind of „eltűnteti” az integrált. Egy konstans, amit hasznos bevezetni (mivel így grafikonon az F(átl.)*t terület ugyanakkora lesz mint az F t szerinti integráltja, csak az első egy téglalap). Az átlagerő ugyanannyi Δt ideig hat és ugyanazt az impulzusváltozást hozza létre, mint a valódi erő.
Ütközések határesetei?
- Ütközési szám?
- Két azonos tömegű, azonos irányú sebességű test rugalmas ütközése síkban?
(tökéletesen) rugalmas ütközés:
– az összes kinetikus energia állandó
– általában konzervatív erők hatnak, azaz az ütközési folyamatban potenciális energiává alakuló belső energia tökéletesen visszaalakítható kinetikus energiává
– a makroszkopikus világban ilyen nincs
– a mozgási energia és az összimplzus is megmarad
tökéletesen rugalmatlan ütközés:
– az ütközés után a testek sebessége azonos, közösen mozognak tovább
– a mozgási energia egy része hővé vagy a maradandó deformáció során tárolódó energiává alakul
– csak az összimpulzus marad meg
- Megmondja, hogy mennyire rugalmas vagy rugalmatlan az ütközés.
- Ütközés után épp 90 fokos szögben fognak egymáshoz képest menni ütközés után.
ÜTKÖZÉS
Két test rövid ideig tartó kölcsönhatása, ahol a külső erők hatása elhanyagolható (mivel a kölcsönhatási erők olyan nagyok a külső erőkhöz képest). Az összimpulzus mindig állandó.
Miért nagyon hasznos az impulzusmegamaradás (és az energiamegmaradás) törvénye?
Mert akkor is mondani lehet valamit a kölcsönhatásokról, amikor amúgy nem tudjuk konkrétan mi történik.
TÖMEGKÖZÉPPONT
- TKP sebessége? gyorsulása?
- Összimpulzus?
- Hogy mozog a tömegkközéppont? Tömegközépponti tétel?
- Zárt rendszerekben milyen mozgást végez?
Az egyes m tömegek helykoordinátáinak tömegekkel súlyozott átlaga.
r(TKP) = Σm(k)*r(k)/M
• v(TKP) = dr(TKP)/dt = Σm(k)v(k)/M
a(TKP) = dv(TKP)/dt = Σm(k)a(k)/M
• Az össztömeg és a TKP sebességének szorzata.
P = Σm(k)v(k) = Mv(TKP)
• Úgy, mintha benne a rendszer összes m tömege bele lenne sűrítve és rá csak a külső erők vektori összege hatna. Tétel: csak külső erő tudja gyorsítani a TKP-t.
ΣF(k) = M*a(TKP) = dP/dt, mivel minden belső erőhöz, amit egy részecske kifejt a másikra tartozik egy ugyanakkora ellentétes irányú erő, amit a másik részecske fejt ki rá, tehát a belső erők eredője zérus.
• EVE mozgást, mivel zárt rendszerben a külső erők hatása elhanyagolható, és ha ΣF(k) = 0, akkor a(TKP) = 0, tehát a TKP nem gyorsul.
Galilei-féle relativitási elv?
Egy EVE mozgást végző test bármilyen inerciarendszerből nézve EVE mozgást végez.
Relatív sebesség meghatározása?
A relatív sebessége egy testnek az eredeti koordinátarendszerből nézett sebesség és az új rendszer eredetihez képesti sebességének vektoriális összege (különbsége).
r = r’ + h —> dr/dt = dr’/dt + dh/dt = v = v’ + V —> dv/dt = dv’/dt + dV/dt = a = a’, mivel dV/dt = 0, mert inerciarendszerek.
Rakétamozgás? Egyenlet neve?
- Levezetés?
- Mikor lesz a legnagyobb a végsebesség?
Ciolkovszkij-egyenlet: v = v_r*ln(m0/m), ahol v a rakéta sebessége, v_r a kilökött üzemanyag rakétához képesti relatív sebessége, m0 a rakéta kezdeti tömege.
• IMT —> mv = (m + Δm)(v + Δv) – Δm(v – v_r)
ΔmΔv nagyon kicsi, szóval elhanyagolható.
Ha Δt —> 0, akkor deriváltak kapódnak.
Ha v’(t)-t az egyik oldalra rendezzük és mindekét oldalt t szerint leintegráljuk, akkor kijön, hogy Δv = v_r*ln(m0/m)
• Ha az üzemanyag a lehető legnagyobb relatív sebességgel távozik vagy ha a tömegarányt a lehető legnagyobbá tesszük (de az utóbbi nem növelhető korlátlanul).
IMPULZUS
• Jellemzők?
p = m*v
• Vektormennyiség, így van előjele. Deriváltja az erő.
Zárt pontrendszer impulzusa?
IMT zárt pontrendszerben: P0 = P, ahol P = Σm(i)*v(i), mivel F(k) = dP/dt = 0, azaz P valami konstans.
Pontrendszer mozgási energiája?
- Levezetés?
- Belső energia?
K = K(b) + K(TKP)
• A rendszer teljes mozgási energiája megegyezik az egyes részecskék mozgási energiájának összegével:
K = Σ1/2m(k)v(k)^2 (a minden tag sebessége ugyanabból a koordinátarendszerből van figyelve).
Felhasználva, hogy v = v’ + v(TKP):
K = Σ1/2m(k)v’(k)^2 + (Σm(k)v’(k))v(TKP) + (Σ1/2m(k))v(TKP)^2, ahol a második tag nulla (mivel a TKP rendszerből nézett összimpulzus nulla), az első tag a belső energia, a harmadik tag pedig a TKP mozgási energiája.
• A tömegközépponthoz rögzített koordinátarendszerben mért kinetikus energia.
K(b) = Σ1/2m(k)v’(k)^2
Impulzus rugalmatlan ütközés esetén TKP rendszerben?
- Levezetés?
- Rugalmas ütközés TKP rendszerben?
K(TKP) = 0, így a TKP rendszerben ütközés előtt és után is nulla az összimpulzus.
- Σm(k)v(k) = Σm(k)v’(k) + Σm(k)v(TKP), de Σm(k)v(k) = Σm(k)v(TKP), így Σm(k)v’(k) = 0
- A testek ütközés előtti közeledésének relatív sebessége megegyezik az ütközés utáni távolodás relatív sebességével. És a TKP rendszerből nézve az ütközés szimmetrikus, azaz az ütközés előtti és utáni sebességek nagysága megegyezik.
