Mate 25+ Tema 7 Geometría Plano - Definiciones Flashcards
Ejes de coordenadas
Son las rectas X, Y y Z que dividen el espacio en octantes y que se utilizan como referencia para las coordenadas.
Vector cero en el espacio
El vector cero es 0 = (0, 0, 0).
Vector opuesto en el espacio
El vector opuesto a v = (a, b, c) es -v = (-a, -b, -c).
Norma o módulo de v
La norma o módulo de v = (a, b, c) es ||v|| = √(a² + b² + c²).
Vector suma
Dados v = (a, b, c) y w = (x, y, z), el vector suma es v + w = (a + x, b + y, c + z).
Combinación lineal en el espacio
Dado v, u y w con escalares a, b, y c, su combinación lineal es av + bu + cw.
Producto escalar en el espacio
Para v = (a, b, c) y w = (x, y, z), el producto escalar es v · w = ax + by + cz.
Vectores linealmente independientes en el espacio
Tres vectores v, u, w son linealmente independientes si no pueden expresarse como combinación lineal entre ellos.
Base canónica en el espacio
Está formada por e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0) y e₃ = (0, 0, 1).
Producto vectorial en el espacio
Dado v = (a, b, c) y w = (x, y, z), su producto vectorial es un nuevo vector perpendicular a ambos.
Definición de la recta como conjunto de puntos
La recta r es el conjunto de puntos P tal que P = A + t*v, donde A es un punto y v un vector director.
Dirección de la recta definida como conjunto de vectores
Es el conjunto de todos los vectores proporcionales al vector director v.
Ecuaciones paramétricas en el espacio
Para r, las ecuaciones son: x = a₁ + tv₁, y = a₂ + tv₂, z = a₃ + tv₃.
Ecuación continua
Se escribe como (x - a₁)/v₁ = (y - a₂)/v₂ = (z - a₃)/v₃.
Definición del plano como conjunto de puntos
Un plano queda determinado por un punto A y dos vectores linealmente independientes.
Dirección del plano como conjunto de vectores
Es el conjunto de todas las combinaciones lineales de dos vectores de dirección.
Puntos en el espacio alineados
Tres puntos A, B y C están alineados si los vectores AB y AC son proporcionales.
Ecuaciones paramétricas del plano π
Se expresan como: x = a₁ + t₁u₁ + t₂v₁, y = a₂ + t₁u₂ + t₂v₂, z = a₃ + t₁u₃ + t₂v₃.
Recta contenida en un plano
Una recta r está contenida en un plano π si todos los puntos de r están en π.
Vector normal
Es un vector ortogonal a todos los vectores en la dirección de un plano.
Ecuación implícita o cartesiana en el espacio
Es de la forma ax + by + cz + d = 0.
Planos paralelos
Dos planos son paralelos si tienen vectores normales proporcionales.
Rectas secantes en el espacio
Dos rectas son secantes si tienen un único punto en común.
Rectas paralelas en el espacio
Dos rectas son paralelas si sus vectores de dirección son proporcionales.
Punto único
Es el único punto de intersección entre dos entidades geométricas.
Rectas coplanarias en el espacio
Dos rectas son coplanarias si existe un plano que las contiene.
Rectas que se cruzan
Dos rectas se cruzan si no son coplanarias y no tienen puntos en común.
Ángulos entre rectas en el espacio
El ángulo entre dos rectas se mide como el menor ángulo entre sus vectores de dirección.
Rectas perpendiculares en el espacio
Dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección forman un ángulo de 90°.
Punto de intersección en el espacio
Es el punto donde se cruzan una recta y un plano o dos rectas.
Plano π
Un plano π se describe mediante un punto y dos vectores linealmente independientes.
