Mate 25+ Tema 6 Geometria Plano - Definiciones

Question 1

Equivalentes de vectores fijos

Answer 1

Dos vectores fijos AB y A’B’ son equivalentes si y sólo si (b₁ - a₁, b₂ - a₂) = (b’₁ - a’₁, b’₂ - a’₂).

Question 2

Vector fijo

Answer 2

Segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Question 3

Vector libre

Answer 3

Conjunto de todos los vectores fijos equivalentes a un vector fijo dado.

Question 4

Origen de coordenadas

Answer 4

Punto del plano con coordenadas (0, 0).

Question 5

Coordenadas de un vector libre

Answer 5

Si A(a₁, a₂) y B(b₁, b₂) son dos puntos, las coordenadas del vector libre VAB son (b₁ - a₁, b₂ - a₂).

Question 6

Vectores libres iguales

Answer 6

Dos vectores libres son iguales si y sólo si sus coordenadas son iguales.

Question 7

Módulo o norma del vector

Answer 7

Es el número ||v|| = √(a² + b²), siendo v = (a, b).

Question 8

Vector opuesto

Answer 8

Es el vector que tiene el mismo módulo y dirección, pero sentido contrario. En coordenadas: si v = (a, b), entonces -v = (-a, -b).

Question 9

Suma de vectores libres

Answer 9

Dados v = (a, b) y w = (c, d), su suma es v + w = (a + c, b + d).

Question 10

Regla del paralelogramo

Answer 10

La suma de dos vectores libres se representa geométricamente como la diagonal del paralelogramo que forman.

Question 11

Producto de número real por un vector

Answer 11

Si k ∈ ℝ y v = (a, b), entonces k * v = (k * a, k * b).

Question 12

Vectores proporcionales

Answer 12

Dos vectores v = (a, b) y w = (c, d) son proporcionales si existe k ∈ ℝ tal que v = k * w.

Question 13

Representante del vector libre

Answer 13

Dado un vector libre, cualquier vector fijo perteneciente a su clase de equivalencia es un representante.

Question 14

Producto escalar (producto de dos vectores)

Answer 14

Si v = (a, b) y w = (c, d), entonces v • w = a * c + b * d.

Question 15

Teorema del producto escalar

Answer 15

El producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Question 16

Vectores perpendiculares u ortogonales

Answer 16

Dos vectores no nulos son ortogonales si y sólo si su producto escalar es cero.

Question 17

Teorema del vector ortogonal

Answer 17

Dos vectores son ortogonales si el coseno del ángulo que forman es 0.

Question 18

Vectores colineales

Answer 18

Dos vectores son colineales si tienen la misma dirección o direcciones opuestas.

Question 19

Teorema de vectores colineales

Answer 19

Dos vectores no nulos son colineales si y sólo si uno es un múltiplo escalar del otro.

Question 20

Combinación lineal de v y w

Answer 20

Un vector u es combinación lineal de v y w si existen λ, μ ∈ ℝ tales que u = λv + μw.

Question 21

Dependencia lineal

Answer 21

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si al menos uno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los otros.

Question 22

Vectores linealmente independientes

Answer 22

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si la única combinación lineal que da el vector cero es la trivial.

Question 23

Teorema de independencia lineal

Answer 23

Dos vectores son linealmente independientes si y sólo si no son proporcionales.

Question 24

Teorema expresión como combinación lineal

Answer 24

Cualquier vector en el plano puede expresarse como combinación lineal de dos vectores linealmente independientes.

Question 25

Ecuación implícita o cartesiana

Answer 25

Una recta en el plano tiene una ecuación de la forma ax + by + c = 0.

Question 26

Sistema generador

Answer 26

Conjunto de vectores tal que cualquier vector del espacio puede expresarse como combinación lineal de ellos.

Question 27

Recta determinada

Answer 27

Una recta en el plano queda determinada por un punto y un vector no nulo.

Question 28

Vectores de dirección r

Answer 28

Son los vectores proporcionales al vector director de la recta r.

Question 29

Vector director

Answer 29

Es un vector no nulo que indica la dirección de una recta.

Question 30

Ecuaciones paramétricas

Answer 30

Si A(a₁, a₂) es un punto y v = (v₁, v₂) un vector director, las ecuaciones paramétricas de la recta son x = a₁ + tv₁, y = a₂ + tv₂, t ∈ ℝ.

Question 31

Ecuaciones punto-pendiente

Answer 31

La ecuación de una recta con pendiente m que pasa por un punto A(a₁, a₂) es y - a₂ = m(x - a₁).

Question 32

Pendiente

Answer 32

Es el cociente entre las diferencias de las coordenadas y e x de dos puntos de la recta: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).

Question 33

Teorema de ecuación implícita

Answer 33

Una ecuación ax + by + c = 0 es una ecuación implícita de una recta si y sólo si r = {P = (x, y): ax + by + c = 0}.

Question 34

Ecuación implícita que pasa por un punto

Answer 34

La ecuación implícita de la recta que pasa por A(a₁, a₂) es ax + by + c = 0.

Question 35

Rectas paralelas

Answer 35

Dos rectas son paralelas si y sólo si sus vectores de dirección son proporcionales.

Question 36

Proporcionalidad de rectas paralelas

Answer 36

Dos rectas r y s son paralelas si sus pendientes son iguales o sus vectores de dirección proporcionales.

Question 37

Teorema del ángulo entre rectas por coseno

Answer 37

El coseno del ángulo θ entre dos rectas r y s se calcula mediante: cosθ = |v₁ • v₂| / (||v₁|| ||v₂||), donde v₁ y v₂ son vectores directores.

Question 38

Vector normal de una recta r

Answer 38

Un vector perpendicular a una recta r, generalmente de la forma (a, b) si la ecuación de la recta es ax + by + c = 0.

Question 39

Rectas perpendiculares no nulos

Answer 39

Dos rectas r y s son perpendiculares si y sólo si el producto escalar de sus vectores de dirección es cero.

Question 40

Propiedades del vector normal

Answer 40

Un vector normal es ortogonal a todos los vectores de dirección de la recta.

Question 41

Recta r

Answer 41

La recta r se define como el conjunto de puntos que satisfacen una ecuación lineal.

Question 42

Ecuaciones de una recta

Answer 42

Incluyen ecuaciones implícitas, paramétricas y punto-pendiente.

Question 43

Ecuación que pasa por los puntos A y B

Answer 43

La ecuación implícita es (x - a₁)/(b₁ - a₁) = (y - a₂)/(b₂ - a₂).

Question 44

Distancia entre punto

Answer 44

La distancia entre dos puntos A(a₁, a₂) y B(b₁, b₂) es d(A, B) = √((b₁ - a₁)² + (b₂ - a₂)²).

Question 45

Ángulo de dos rectas r y s

Answer 45

El ángulo entre dos rectas r y s se calcula mediante el coseno del ángulo formado por sus vectores de dirección.

Question 46

Distancia de un punto C a una recta r

Answer 46

Si C = (m₁, m₂) y r: ax + by + c = 0, entonces la distancia es d(C, r) = |am₁ + bm₂ + c| / √(a² + b²).