Mate 25+ Tema 6 Geometria Plano - Definiciones Flashcards
Equivalentes de vectores fijos
Dos vectores fijos AB y A’B’ son equivalentes si y sólo si (b₁ - a₁, b₂ - a₂) = (b’₁ - a’₁, b’₂ - a’₂).
Vector fijo
Segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).
Vector libre
Conjunto de todos los vectores fijos equivalentes a un vector fijo dado.
Origen de coordenadas
Punto del plano con coordenadas (0, 0).
Coordenadas de un vector libre
Si A(a₁, a₂) y B(b₁, b₂) son dos puntos, las coordenadas del vector libre VAB son (b₁ - a₁, b₂ - a₂).
Vectores libres iguales
Dos vectores libres son iguales si y sólo si sus coordenadas son iguales.
Módulo o norma del vector
Es el número ||v|| = √(a² + b²), siendo v = (a, b).
Vector opuesto
Es el vector que tiene el mismo módulo y dirección, pero sentido contrario. En coordenadas: si v = (a, b), entonces -v = (-a, -b).
Suma de vectores libres
Dados v = (a, b) y w = (c, d), su suma es v + w = (a + c, b + d).
Regla del paralelogramo
La suma de dos vectores libres se representa geométricamente como la diagonal del paralelogramo que forman.
Producto de número real por un vector
Si k ∈ ℝ y v = (a, b), entonces k * v = (k * a, k * b).
Vectores proporcionales
Dos vectores v = (a, b) y w = (c, d) son proporcionales si existe k ∈ ℝ tal que v = k * w.
Representante del vector libre
Dado un vector libre, cualquier vector fijo perteneciente a su clase de equivalencia es un representante.
Producto escalar (producto de dos vectores)
Si v = (a, b) y w = (c, d), entonces v • w = a * c + b * d.
Teorema del producto escalar
El producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
Vectores perpendiculares u ortogonales
Dos vectores no nulos son ortogonales si y sólo si su producto escalar es cero.
Teorema del vector ortogonal
Dos vectores son ortogonales si el coseno del ángulo que forman es 0.
Vectores colineales
Dos vectores son colineales si tienen la misma dirección o direcciones opuestas.
Teorema de vectores colineales
Dos vectores no nulos son colineales si y sólo si uno es un múltiplo escalar del otro.
Combinación lineal de v y w
Un vector u es combinación lineal de v y w si existen λ, μ ∈ ℝ tales que u = λv + μw.
Dependencia lineal
Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si al menos uno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los otros.
Vectores linealmente independientes
Un conjunto de vectores es linealmente independiente si la única combinación lineal que da el vector cero es la trivial.
Teorema de independencia lineal
Dos vectores son linealmente independientes si y sólo si no son proporcionales.
Teorema expresión como combinación lineal
Cualquier vector en el plano puede expresarse como combinación lineal de dos vectores linealmente independientes.
Ecuación implícita o cartesiana
Una recta en el plano tiene una ecuación de la forma ax + by + c = 0.
Sistema generador
Conjunto de vectores tal que cualquier vector del espacio puede expresarse como combinación lineal de ellos.
Recta determinada
Una recta en el plano queda determinada por un punto y un vector no nulo.
Vectores de dirección r
Son los vectores proporcionales al vector director de la recta r.
Vector director
Es un vector no nulo que indica la dirección de una recta.
Ecuaciones paramétricas
Si A(a₁, a₂) es un punto y v = (v₁, v₂) un vector director, las ecuaciones paramétricas de la recta son x = a₁ + tv₁, y = a₂ + tv₂, t ∈ ℝ.
Ecuaciones punto-pendiente
La ecuación de una recta con pendiente m que pasa por un punto A(a₁, a₂) es y - a₂ = m(x - a₁).
Pendiente
Es el cociente entre las diferencias de las coordenadas y e x de dos puntos de la recta: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).
Teorema de ecuación implícita
Una ecuación ax + by + c = 0 es una ecuación implícita de una recta si y sólo si r = {P = (x, y): ax + by + c = 0}.
Ecuación implícita que pasa por un punto
La ecuación implícita de la recta que pasa por A(a₁, a₂) es ax + by + c = 0.
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si y sólo si sus vectores de dirección son proporcionales.
Proporcionalidad de rectas paralelas
Dos rectas r y s son paralelas si sus pendientes son iguales o sus vectores de dirección proporcionales.
Teorema del ángulo entre rectas por coseno
El coseno del ángulo θ entre dos rectas r y s se calcula mediante: cosθ = |v₁ • v₂| / (||v₁|| ||v₂||), donde v₁ y v₂ son vectores directores.
Vector normal de una recta r
Un vector perpendicular a una recta r, generalmente de la forma (a, b) si la ecuación de la recta es ax + by + c = 0.
Rectas perpendiculares no nulos
Dos rectas r y s son perpendiculares si y sólo si el producto escalar de sus vectores de dirección es cero.
Propiedades del vector normal
Un vector normal es ortogonal a todos los vectores de dirección de la recta.
Recta r
La recta r se define como el conjunto de puntos que satisfacen una ecuación lineal.
Ecuaciones de una recta
Incluyen ecuaciones implícitas, paramétricas y punto-pendiente.
Ecuación que pasa por los puntos A y B
La ecuación implícita es (x - a₁)/(b₁ - a₁) = (y - a₂)/(b₂ - a₂).
Distancia entre punto
La distancia entre dos puntos A(a₁, a₂) y B(b₁, b₂) es d(A, B) = √((b₁ - a₁)² + (b₂ - a₂)²).
Ángulo de dos rectas r y s
El ángulo entre dos rectas r y s se calcula mediante el coseno del ángulo formado por sus vectores de dirección.
Distancia de un punto C a una recta r
Si C = (m₁, m₂) y r: ax + by + c = 0, entonces la distancia es d(C, r) = |am₁ + bm₂ + c| / √(a² + b²).
