Mate 25+ Tema 4 Matrices - Definiciones Flashcards
Matriz
Se denomina matriz de orden m x n a toda disposición rectangular de m filas y n columnas. Se escribe A = (aᵢⱼ)m×n.
Orden o dimensión de matriz
Es el número de filas (m) y de columnas (n) que forman la matriz.
Matriz fila
Es una matriz con una sola fila.
Matriz columna
Es una matriz con una sola columna.
Matriz cuadrada
Es una matriz que tiene el mismo número de filas y columnas.
Diagonal de matriz
Son los elementos aᵢⱼ de una matriz cuadrada para los cuales i = j.
Matriz triangular
Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son ceros.
Matriz diagonal
Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos fuera de la diagonal principal son ceros.
Matriz unidad
Es una matriz diagonal cuyos elementos en la diagonal principal son iguales a 1.
Matriz nula
Es una matriz cuyos elementos son todos ceros.
Matriz opuesta
Es una matriz cuyos elementos son los opuestos de otra matriz. Si A = (aᵢⱼ), entonces -A = (-aᵢⱼ).
Matriz traspuesta
Es la matriz que se obtiene al cambiar las filas por las columnas. Si A = (aᵢⱼ), entonces Aᵀ = (aⱼᵢ).
Matriz simétrica
Es una matriz cuadrada que coincide con su traspuesta, A = Aᵀ.
Matriz antisimétrica
Es una matriz cuadrada tal que Aᵀ = -A.
Suma de dos matrices del mismo orden
Se realiza sumando los elementos correspondientes: (A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ.
Suma de matrices de distinto orden
No está definida, ya que deben tener el mismo número de filas y columnas.
Propiedades de matrices
Propiedades como conmutativa (A + B = B + A), asociativa y distributiva.
Escalar de una matriz
El producto de un número real k por una matriz A se define como (kA)ᵢⱼ = k * aᵢⱼ.
Propiedades del producto escalar de una matriz
Distribución respecto a la suma: k(A + B) = kA + kB, asociatividad: k(hA) = (kh)A.
Multiplicabilidad de una matriz con otra matriz
Dos matrices son multiplicables si el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda.
Obtención del elemento cᵢⱼ de la matriz producto
Se obtiene como la suma del producto de los elementos de la fila i de la primera matriz por los elementos de la columna j de la segunda matriz: cᵢⱼ = Σaᵢₖbₖⱼ.
Propiedad de productos de matrices
Asociativa: A(BC) = (AB)C, distributiva respecto de la suma: A(B + C) = AB + AC.
Determinante de la matriz
Es un número asociado a una matriz cuadrada obtenido mediante un desarrollo específico.
Determinante de la matriz de orden 3
Determinante de A = |A| = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₁a₂₃a₃₂ - a₁₂a₂₁a₃₃.
Matriz complementaria
Es la matriz obtenida al eliminar una fila y una columna de una matriz cuadrada.
Menor complementario
Es el determinante de la matriz complementaria asociada a un elemento aᵢⱼ.
Adjunto de un elemento
Es el menor complementario del elemento aᵢⱼ afectado por el signo (-1)^(i+j).
Desarrollo por fila de un determinante por adjunto
El determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos.
Matriz adjunta
Es la matriz formada por los adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada.
Propiedades de la matriz inversa
Si A es inversible, entonces A⁻¹ existe y es única. (A⁻¹)⁻¹ = A.
Inversibilidad de matriz
Una matriz cuadrada es inversible si y solo si su determinante es distinto de cero.
Cálculo de matriz inversa
A⁻¹ = (1 / |A|) * Adj(A), donde Adj(A) es la matriz adjunta.
Submatriz de una matriz
Es cualquier matriz obtenida eliminando filas y/o columnas de una matriz.
Menor de una matriz
Es el determinante de cualquier submatriz cuadrada de una matriz.
Rango de matriz
Es el orden de la mayor submatriz cuadrada cuyo determinante es no nulo.
Matriz inversible
Es una matriz cuadrada que posee inversa. Esto ocurre si y solo si su determinante es distinto de cero.
