K07 Zylinderschale

Question 1

Worin unterscheidet sich die Schale von der Platte? Welche Beanspruchungen wirken in der Schale?

Answer 1

Ist das Flächenelement nicht eben, sondern einachsig oder zweiachsig vorgekrümmt, so treten unter Flächenlast gleichzeitig Biegemomente und Membrankräfte (Zug- und Schubkräfte der Scheibe) auf. Das Problem der Platte verkoppelt sich also mit dem der Scheibe -> Schale = Platte + Scheibe

Durchschlagen möglich
Krümmung
Membrankräfte

Question 2

Wie verhält sich bei einer Schale die Verformung zur aufgebrachten Last?

Answer 2

• Bei kleinen Durchsenkungen verhält sich die Verformung zur
Last plattentheoretisch linear. f < < t
• Bei starker Durchbiegung stark nichtlinear bis hin zur
Unstetigkeit (Durchschlagen). f > t

Question 3

Welchen Einfluss hat die Krümmung auf das Tragverhalten?

Answer 3

“Je krümmer, desto besser”
• Der Krümmungseinfluss ist bei dünnwandigen Flächentragwerken positiv:
• Durch eine geringe Wölbung erhöhen sich Biegesteifigkeit, Beulsicherheit und Eigenfrequenz erheblich. (niedrige EIgenfreq. können leicht angeregt werden)
Membrankräfte-> Umlenkresultierende wirkt belastung entgegen-> gleichmäßigere Querschnittsausnutzung

Question 4

In welchem Koordinatensystem kann das Verhalten schwach gekrümmte Schalen beschrieben werden?

Answer 4

in einem ebenen KS

Dabei werden die Horizontalkomponenten der äußeren Belastung und der Biegequerkraft vernachlässigt.

Question 5

Wie ist das Krümmungsmaß definiert und ab welchen Krümmungen treten bereits große Membranspannungen auf?

Answer 5

“Im Wesentlichen das Verhältnis von Dehn- zu Biegesteifigkeit und Abstand zu Radius”

Omega= D*b^4/(B*r²)
Membransteifigkeit D
Biegesteifigkeit B
Breite b
Radius r

Schon bei schwachen Krümmungen (b²/(r*t) < 10, Omega < 1000) treten bereits große Membranspannungen auf, welche die Ränder horizontal
verschieben würden.
Je nach Einspannungsart ist bei Omega > 1000 mit 80% - 90% Membranwirkung zu rechnen

Question 6

Wie lautet die Differenzialgleichung der Zylinderschale? Worin unterscheidet sie sich von der DGL der Platte?

Answer 6

Bw°°°°=p^-êpsilonD/r
setzt sich zusammen aus KräfteGLG, Biegemomentgleichung, Membrankraftgleichung
Enthält zusätzlich das sog. Membranspannungsglied aus Elastizitätsgesetz der Scheibe ( êpsilon*D/r )

Question 7

Welche statischen Randbedingungen sind für eine Schale erforderlich?

Answer 7

1. Ohne Lagerung wäre die Schale nur eine Platte, da die Membrankräfte nirgendwohin abgeleitet werden können und sich daher gar nicht erst bilden. “Die Ränder dürfen sich nicht gegeneinander verschieben können”
   w(y=0)=0 und w(y=b)=0
   die Durchbiegung an de Seiten muss 0 sein
   v(y=0)=v(y=b)=0
   seitlich unverschiebbare Ränder

–> statisch überbestimmte Lagerung

drehfeste Lagerung w°(y=0 oder y=b)=0 oder
gelenkige Lagerung w°°(y=0 oder y=b)=0

Question 8

Welchen Einfluss hat die Lagerung (Einspannung) auf das Tragverhalten der Zylinderschale? Welchen Einfluss hat die Krümmung bei starrer und bei gelenkiger Lagerung der Zylinderschale?

Answer 8

1. Ohne Lagerung wäre die Schale nur eine Platte, da die Membrankräfte nirgendwohin abgeleitet werden können und sich daher gar nicht erst bilden.
   Die im ebenen Fall durch die starre Einspannung deutlich biegesteifere Platte profitiert von einer zunehmenden Krümmung weniger als die gelenkig gelagerte Schale.
   (Durchschlagen erfolgt bei fester Einspannung stets symmetrisch)

Tragverhalten: bei gelenkiger Einspannung liegt max. Spannung in Mitte
bei fester Einspannung liegt die max. Spannung am Rand

Relativ schwache Krümmung -> hohe Membranspannungen -> ein hoher
Membranspannungsanteil ist gut, weil Materialausnutzung besser ist (weniger Biegespannung dafür mehr Spannung in Ebene

Question 9

Wie wirken sich bei Flugzeugen die Spante auf die Verformung von zylindrischen Druckrümpfen aus?

Answer 9

versteifend
je geringer der Abstand zw. den Spanten, desto größer die Membranstützung
Verhindern der radialen Aufweitung des Rumpfes

Durch starre Rippen oder Spanten wird die Querdehnung der gesamten Schale verhindert, so dass unverschiebbare Ränder vorausgesetzt werden können
Es wirkt gegen die Aufweitung also Krümmung des Zylinders (ausreichend passenden Abstand wählen), Beispiel: Haargummi um langen Luftballon
Bei Druckrümpfen muss der Spantabstand so gewählt werden, dass die Aufweitung des
Zylinders zwischen den Spanten hinreichend gering bleibt