Mecânica celeste

Question 1

Descreva a 1^a lei de Kepler.

Answer 1

As órbitas dos planetas ao redor do Sol são elípticas, com o Sol em um dos focos da elipse.

Question 2

Descreva a 2^a lei de Kepler.

Answer 2

A linha reta que une um planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais. É conhecida também como lei das áreas.

https://www.if.ufrgs.br/tex/fis01043/20022/Francisco/segunda_lei.html

Question 3

Na figura, temos que o planeta percorre do ponto 1 ao 2 em 2 meses. Sendo a distância de 1 a 2 o dobro da distância de 3 a 4, quanto tempo o planeta leva para percorrer do ponto 3 ao 4?

Answer 3

Podemos ver na figura que a área varrida pela reta que liga o Sol ao planeta é a mesma em ambos os casos. Portanto, o planeta também demora 2 meses para ir de 3 a 4 (lei das áreas ou 2^a lei de Kepler).

Question 4

Sendo as trajetórias dos planetas do Sistema Solar elípticas, há um ponto de maior distância que um determinado planeta se posiciona em relação ao Sol, e um ponto de mínima distância. Quais os nomes desses pontos nas órbitas?

Answer 4

Ponto de menor distância em relação ao Sol: periélio
Ponto de maior distância: afélio

Se forem órbitas elípticas ao redor de outro corpo celeste, o ponto de menor distância é o pericentro, e o de maior distância , apocentro.

Question 5

Um planeta que orbita ao redor de uma estrela tem a distância da estrela ao pericentro a metade da distância da estrela ao apocentro. Sendo assim, qual a relação matemática entre as velocidades orbitais do planeta nesses dois pontos?

Answer 5

Conservando o momento angular L, temos que:
m.d_p.v_p = m.d_a.v_a

Então:
d_p.v_p = d_a.v_a

Como d_p = 1/2 d_a,

v_p = 2. v_a

A lei das áreas é uma consequência do princípio da conservação do momento angular, uma vez que não há forças externas ao sistema. Nesse caso, distância do planeta à estrela central x velocidade orbital é constante: d₁.v₁ = d₂. v₂.
Note que quanto mais próximo da estrela, maior a velocidade do planeta.

Question 6

Após aproximadamente 10 anos da publicação da lei das áreas, Kepler consegue trazer a relação matemática para calcular o período orbital dos planetas, conhecida como 3^a lei de Kepler. Qual é essa relação matemática?

Answer 6

A razão R³/T² é a mesma para todos os planetas do Sistema Solar (na verdade, essa relação funciona para quaisquer corpos que giram ao redor de um mesmo corpo central - satélites de um planeta, por exemplo).

Question 7

Considerando a distância de Marte ao Sol 50% maior que a distância da Terra ao Sol, qual é o período orbital de Marte?

Answer 7

R³/T² de Marte = R³/T² da Terra.

Sendo R_Marte = 1,5R_Terra e T_Terra = 1 ano terrestre,

(1,5.R)³/T² = R³/1

Logo:

T² = 1,5³
T ~ 1,8 ano terrestre.

Question 8

Os trabalhos de Kepler foram um importante alicerce para os estudos de mecânica celeste de Newton. Descreva, com as suas palavras, a lei da gravitação universal.

Answer 8

A lei da gravitação universal diz que dois corpos massivos se atraem mutualmente e a intensidade dessa força atrativa é diretamente proporcional ao produto das massas dos corpos e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os dois corpos.

Question 9

Escreva a equação da gravitação newtoniana.

Answer 9

F = G.M.m/d²,

onde F é a intensidade da força de atração entre os dois corpos de massa M e m, distantes d um do outro.
G é a constante da gravitação universal = 6,67.10^-11 Nm²/kg².

Question 10

Qual é a unidade de força gravitacional, no SI?

Answer 10

Newton (N).

Question 11

O que é 1 unidade astronômica (1 UA)?

Answer 11

UA é unidade de medida de distância utilizada entre corpos pertencentes ao Sistema Solar. 1 UA é a distância média entre a Terra e o Sol.

https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/unidades-astronomicas.htm

Question 12

O que significa 1 ano-luz?

Answer 12

1 Ano-luz é a distância percorrida pela luz no vácuo em 1 ano terrestre.

Question 13

Qual é a relação de equivalência entre ano-luz e km?

Answer 13

1 ano-luz ~ 9,5.10¹² km (9,5 trilhões de km).

Não é necessário decorrar esse valor, porém é importante saber como chegar até ele. A luz percorre 300.000 km em apenas 1s. Basta (!?) calcular quantos segundos tem em 1 ano e multiplicar por 300.000.

Question 14

Qual é a relação de equivalência entre parsec e ano-luz?

Answer 14

1 parsec ~3,26 ano-luz.

Parsec (pc) é uma unidade de medida bastante utilizada na astronomia/astrofísica.
Bem mais importante que conhecer essa relação é entender o que é 1 parsec e a sua relação com paralaxe (movimentação aparente da um objeto devido ao fato de o observador se mover).
https://pt.wikipedia.org/wiki/Parsec

Question 15

Escreva a equação para calcular a intensidade da gravidade em um local distante d do centro de um planeta de massa M.

Answer 15

g = G.M/d²

Question 16

Escreva a equação para calcular a intensidade da gravidade em um local distante d da superfície de um planeta de massa M e raio R.

Answer 16

g = G.M/(R+d)²

Question 17

“Malas prontas, bandeira do Brasil garantida, partiu aeroporto. Era o início de uma viagem que vai marcar a vida desse mineiro e da família dele para sempre. Após a decolagem, o foguete ganha velocidade e, quando se aproxima de cem quilômetros de altura, a cápsula de tripulantes se separa e liga os próprios motores, e inicia o voo livre, com gravidade zero.”
- https://g1.globo.com/fantastico/noticia/2022/06/05/e-um-marco-na-minha-vida-diz-engenheiro-de-minas-que-se-tornou-o-primeiro-turista-espacial-brasileiro.ghtml

Explique o erro conceitual apresentado nesta reportagem do Fantástico.

Answer 17

O nosso planeta possui um raio médio de aproximadamente 6400 km. A 100km de altitude, a gravidade é praticamente a mesma da superfície da Terra (~ 9,8 m/s²).

Como explicar o fato de os tripulantes flutuarem dentro da cápsula? Da mesma maneira que Newton explicou o movimento da Lua ao redor da Terra, uma eterna queda-livre. Em uma queda-livre (elevador/avião despencando, por ex) a única força atuante é a força peso, não havendo contato (força normal) entre os corpos e as superfícies.

Recomendo a leitura das pgs 279 e 280 do texto http://projetoseeduc.cecierj.edu.br/eja/recurso-multimidia-professor/fisica/novaeja/m1u04/mat_didatico_fis_v1_unidade9.pdf

Question 18

Um corpo de massa m está orbitando ao redor de um corpo celeste de massa M. Qual é a força resultante que atua no corpo de massa m?

Answer 18

A força resultante no corpo de massa m é justamente a força que o corpo celeste o imprime, que é a força de atração gravitacional F_g.
E ainda, como podemos tratar o movimento orbital como um MCU, F_g = F_cp.

Sabemos (pela 1^a lei de Kepler) que as trajetórias são elípticas, porém a excentricidade é tão pequena que as chamamos de quase-circulares. Dessa maneira, a força gravitacional é a centrípeta do movimento,

Question 19

Escreva a equação da velocidade orbital de um corpo de massa m ao redor de um corpo celeste de massa M, considerando R a distância entre os centros de massa desses corpos.

Answer 19

Como a força gravitacional é a centrípeta do movimento, temos:

GMm/R² = mv²/R

Obtendo a equação da velocidade orbital apresentada na figura.

Question 20

Obtenha a equação do período orbital de um planeta/satélite ao redor de um corpo celeste de massa M. Considere R o raio da órbita.

Answer 20

Podemos obter a expressão do período orbital combinando as equações da velocidade orbital e a equação de velocidade no MCU, conforme traz a figura.

Question 21

O que é a velocidade de escape de um corpo celeste?

Answer 21

É a velocidade mínima necessária para que um corpo, inicialmente na superfície de um corpo celeste, escape da ação gravitacional deste.

Question 22

Quais são as energias cinética E_c e potencial gravitacional E_p/de um foguete em lançamento, na superfície terrestre?

Answer 22

E_c = mv²/2
E_p = - GMm/R

Obs 1: Por consequência da relação entre trabalho da força e variação de energia potencial W = E_inicial - E_final,
a energia potencial gravitacional (na mecânica celeste) é negativa.
https://cesad.ufs.br/ORBI/public/uploadCatalago/15113716022012Fisica_A_aula_10.pdf As pgs 207 e 208 apresentam o cálculo por trás da eq. da energia potencial (porém é necessário um certo conhecimento de cálculo para compreender).

Obs 2: A energia mecânica de corpos em órbitas fechadas (circulares ou elípticas) é negativa (E < 0). Se E ≥ 0, as órbitas são abertas (parábolas ou hipérboles) - Teorema de Bertrand.

Question 23

Um foguete necessita ter uma velocidade mínima para escapar da ação gravitacional da Terra, chamada de velocidade de escape.
Escreva a equação da velocidade de escape v^esc de um corpo celeste de massa M e raio R.

Answer 23

Na superfície da Terra, a energia mecânica do foguete é:

E = mv²/2 - GMm/R

que é justamente a soma da cinética com a potencial. Ao escapar da ação gravitacional, ou seja, a uma distância muito longa (R → ∞), temos que:

E = 0 (energia mínima para sair da órbita - energia negativa significa que o corpo ainda está em órbita fechada).

Aplicando o princípio da conservação de energia:

mv²/2 - GMm/R = 0

Obtendo a equação da velocidade de escape apresentada na figura.

Repare que a velocidade de escape é raiz de 2 da velocidade orbital (v_esc ~ 1,4 v_orbital). Assim, um corpo em órbita que tem a sua velocidade aumentada em 40% tende a escapar dessa órbita).

A velocidade de escape da Terra:
v² = 2.6,7.10^-11.6.10²⁴/6400000
v = 11,2 km/s.

Question 24

O raio de Schwarzschild de um corpo celeste é o raio que o corpo deve ter para que a velocidade de escape para este seja igual a velocidade da luz no vácuo (c). Assim, concentrando a mesma massa em um raio ainda menor, nem a luz escaparia. Por isso o raio de Schwarzschild é conhecido como raio do Buraco Negro.
A partir dessas informações, obtenha a expressão do raio de Schwarzschild R_S de um corpo celeste de massa M.

Answer 24

v²_esc = 2.GM/R

Fazendo v_esc = c, temos que:

R_S = 2GM/c²

O raio de Schwarzschild da Terra é igual a 2.6,7.10^-11.6,10²⁴/(3.10⁸)² ~ 9 mm.
Isso mesmo, para a Terra ser um buraco negro, teria que concentrar toda a sua massa em uma bolinha de gude!

Question 25

Sabemos que a intensidade da gravidade em um ponto externo a um corpo celeste é proporcional a massa deste corpo e inversamente proporcional ao quadrado da distância do corpo celeste ao ponto externo.
Entretanto, como são essas relações para um ponto interno ao corpo celeste? Em outra palavras, como medir a gravidade em um ponto cuja distância ao centro deste corpo seja menor que seu raio (d < R)?

Answer 25

A medida de gravidade segue respeitando a relação g = Gm/d², porém aqui m é a massa do corpo celeste anterior ao ponto que dista d de seu centro.

Considerando a densidade d do corpo celeste constante,

d = M/(4/3)πR³ = m/(4/3)πd³

Então:

M/R³ = m/d³, ou ainda

m = M. d³/R³

Logo:

g = (Gm/R³).d

Note que g é linearmente dependente de d, ao passo que no exterior do corpo celeste, a relação é inversamente proporcional. O gráfico exposto na figura traz essas relações para o caso da Terra.