funções racionais, zero e sinais, lim segundo heine, indeterminações, continuidade, assíntotas Flashcards
equações … resolvem-se ao reduzir a equação fracionaria à forma …
escrever … <=> … ∧ …
resolver a condição acima e apresentar conjunto solução
- fracionarias
- A(x) / B(x) = 0
- A(x) / B(x) = 0
- A(x) = 0 ∧ B(x) != 0
inequações … resolvem-se ao reduzir à forma …
estudar o … da fração, recorrendo a um …
apresentar sob forma de … os valores de x que satisfazem a inequação
apresentar o conjunto solução
- fracionarias
- A(x) / B(x) > 0 ou <, >=, <=
- sinal
- quadro de sinais
- condição
dados um conjunto A⊂|R e um ponto a∈|R
* quando existe uma sucessão (Xn) de elementos de A tal que … , diz-se que “a” é um … de A
* todo ponto a∈A é um … de A, basta considerar …
* pode-se ter um … de A sem que “a” pertença a A, basta considerar uma sucessão (Xn) de … de A cujo lim Xn = …
- lim Xn = a
- ponto aderente
- ponto aderente
- Xn = a
- ponto aderente
- elementos
- a
um ponto cuja qualquer … intersete um conjunto A é … deste conjunto
- vizinhança desse ponto
- ponto aderente
seja f uma função RVR e a∈|R, o numero real b designa-se por limite de f(x) quando x tende para … quando “a” for … , e para toda a sucessão (Xn) de elementos de Df … para “a”, lim f(Xn) = b
escreve-se …
- “a”
- aderente de Df
- convergente
- lim f(x) = b
x->a
para a∈… se o limite de f(x) quando x tende para “a” existir é igual a …
o limite de f(x) quando x tende para “a”, se existir, é …
a definição de limite e a propriedade anterior estendem-se ao caso de limites …
- Df
- f(a)
- único
- infinitos
limite de f a esquerda de “a” é quando a função f “aproxima-se de “a” por valores …”
escreve-se … ou …
limite de f a direita de “a” é quando a função f “aproxima-se de “a” por valores …”
escreve-se … ou …
- inferiores a “a”
- lim f|]-∞, a[ (x)
x->a - lim f(x) = b
x -> a- - superiores a “a”
- lim f|]a, +∞[ (x)
x->a - lim f(x) = b
x->a-
dada uma FRVR f e dado um ponto “a” … ao dominio de f
se a…Df e se lim x->a- = lim x->a+ então … que é igual aos outros limites
se a…Df e se lim x->a- = lim x->a+ = … , então … que é igual aos outros limites
- aderente
- !∈
- ∃ lim x->a
- ∈
- f(a)
- ∃ lim x->a
propriedades operatorias de funções
lim x->a (f +/- g)(x) = …
lim x->a (f x g)(x) = …
lim x->a (f / g)(x) = …
lim x->a (k x f)(x) = …
lim x->a (f^r)(x) = …
- lim x->a f(x) +/- lim x->a g(x) = b +/- c
- lim x->a f(x) x lim x->a g(x) = b x c
- lim x->a f(x) / lim x->a g(x) = b / c, com c!=0
- k x lim x->a f(x) = k x b
- (lim x->a f(x))^r = b^r, com b!=0 se r<0
o produto de uma função limitada por uma de limite nulo é …
nulo, igual a zero
sejam f e g duas FRVR e “a” um … a …
se lim x->… f(x) = b∈|R e lim x->b g(x) = c ∈|R, então …
- ponto aderente
- gof
- a
- lim x->a (gof)(x) = c
levantamento algebrico de indeterminações envolvendo funções racionais (se x->a)
0/0 : …
+∞ -∞ : …
∞/∞ : …
0x∞ : …
- colocar em evidencia o termo de maior grau no numerador e no denominador
- simplificar a expressão de maneira a obter 0/0
- simplificar a expressão de maneira a obter 0/0
- simplificar a expressão de maneira a obter 0/0
levantamento algebrico de indeterminações envolvendo funções racionais (se x->+/-∞)
0/0 : …
+∞ -∞ : …
∞/∞ : …
0x∞ : …
- simplificar a expressão de maneira a obter ∞/∞
- simplificar a expressão de maneira a obter ∞/∞
- colocar em evidencia o termo de maior grau no numerador e no denominador
- simplificar a expressão de maneira a obter ∞/∞
limites de funções irracionais (aprensentam uma ou mais …) 3 estrategias: …
- raízes
- multiplicar o numerador e denominador pela expressão conjugada do binómio onde se encontra a expressão racional
- multiplicar o numerador e denominador pela própria raiz envolvida
- ou colocar em evidência um fator de modo a transformar a expressão que se encontra no radicando num produto
limites de funções que envolvem modulos requerem que se … a função por … e determinar os …
se f é uma função polinomial de grau n definida por: f(x) = a0 x^n + a1 x^(n-1) + — + an-1 x^1 + an
lim x->+/-∞ f(x) = …
PASSAR RESTO QND JORGE MND
- defina
- ramos
- limites laterais
seja f uma FRVR e seja a∈Df diz-se que f é … em “a” quando lim x->a f(x) existe
se um ponto não pertencer ao dominio de uma função, não faz sentido falar em …
se “a” é um ponto ISOLADO no dominio de f, lim x->a f(x) = … ou seja, a função …
- continua??? tava escrito conjunto :,))
- continuidade da função nesse ponto
- f(a)
- é continua nesse ponto
sejam f uma FRVR de dominio Df e A⊂Df, diz-se que:
f é … no conjunto A quando f eh … em todos os pontos de A
f eh … quando f eh … em todos os pontos de Df
- contínua x4
operações com funções continuas
sejam f e g duas funções RVR f:Df->|R e g:Dg->|R , … num ponto “a”, então também são … em “a” as 6 funções …
- contínuas
- contínuas
- f+g
- f-g
- fxg
- f/g se g(a)!=0
- f^n , com n∈|N
- n^√(f) , com n∈|N e f(a)>=0 , se n for par
toda função … é continua em |R
toda função … é continua no seu dominio
as funções seno e cosseno são continuas …
a função tangente é continua …
- polinomial
- racional
- em |R
- no seu dominio
dado um referencial cartesiano, uma função RVR f e a∈|R , a reta de equação x = a é … ao grafico def quando pelo menos um dos limites laterais de f no ponto “a” for …
nota, se uma função eh continua e se o seu dominio eh |R ou um … , o seu grafico … assintotas verticais
- assíntota vertical
- infinito
- intervalo fechado
- não admite
metodo para determinar assintotas verticais:
1) achar um ponto “a” em que:
a∈Df mas eh ponto …
a!∈Df mas eh ponto …
2) calcular … e …
3) se algum dos limites calculados eh … ou … conclui-se que a reta de equação x=a eh assíntota vertical ao grafico de f
- de descontinuidade de f
- aderente a f
- lim x->a- f(x) e lim x->a+ f(x) , ou seja, o limite a esquerda e a direita de a
- +∞
- -∞
dado um referencial cartesiano, uma função RVR f e b∈|R, a reta de equação y=b eh … ao grafico de f quando lim x->… f(x) = b ou lim x->… f(x) = b
- assintota horizontal
- +∞
- -∞
dado um referencial cartesiano, uma função RVR f, a reta de equação y=mx+b (m, b∈|R) eh … ao grafico de f em +∞ se …
e eh … ao grafico de f em -∞ se …
quando m=0 designa-se por …
quando m!=0 designa-se por …
- assintota não vertical
- lim x->+∞ - (mx+b) = 0
- assintota não vertical
- lim x->-∞ - (mx+b) = 0
- assintota horizontal ao grafico de f
- assintota oblíqua ao grafico de f
a reta de equação y=b eh uma assintota horizontal ao grafico de f em +∞ se e só se … , isto eh, …
e eh assintota horizontal ao grafico de f em -∞ se e só se … , isto eh, …
- lim x->+∞ (f(x) - b) = 0
- lim x->+∞ f(x) = b
- lim x->-∞ (f(x) - b) = 0
- lim x->-∞ f(x) = b
quando x->+∞ ou quando x->-∞ (tem em conta apenas “um dos lados” da função) apenas pode ocorrer uma de 3 situações: o grafico tem uma … , ou tem uma … , ou …
- assintota horizontal
- assintota oblíqua
- não tem assintota
seja f uma função racional definida por f(x) = a + b/(x - c) , com a, b e c numeros reais
Df = |R \ {…}
assíntota vertical: …
assíntota horizontal: …
- c
- x = c
- y = a
propriedades de assintotas não verticais:
dada uma função RVR f, se a reta de equação y = mx+b eh uma assíntota ao grafico de f, quando:
x->+∞ então m = … e b = …
x->-∞ então m = … e b = …
- lim x->+∞ f(x) / x
- lim x->+∞ f(x) - mx
- lim x->-∞ f(x) / x
- lim x->-∞ f(x) - mx
método para determinar assintotas não verticais:
1) observa-se se o dominio contem pelo menos 1 intervalo do tipo … (aka não eh …) ou … (aka não eh minorado)
2) se fizer sentido x->+∞ , calcula m = lim x->+∞ … ; se m…|R ou este limite … , então o grafico de f não admite assintota não vertical quando x->+∞
se m…|R, calcula b = lim x->+∞ …
se b…|R ou este limite … , então o grafico de f não admite assintota não vertical quando x->+∞
se b…|R então y = mx+b eh uma assintota não vertical ao grafico de f
3) aplicar o raciocinio para x->-∞ se fizer sentido
1) ]-∞, a[ - minorado - ]a, +∞[ - majorado
2) f(x) / x - !∈ - não existe - ∈ - (f(x)-mx) - !∈ - não existe - ∈
