Esercizi pratici Flashcards
Diagonalizzare una matrice A
- Determinare n autovettori linearmente indipendenti di A.
- Costruire la matrice P avente gli autovettori come vettori colonna.
- La matrice P^-1 • A • P sarà diagonale con elementi diagonali λ1, λ2, …, λn
Stabilire se v(x,y,z) è un autovettore di f
- Sostituire le componenti nella legge dell’applicazione lineare
- Se esce un vettore proporzionale a v, allora è autovettore
Determinare dimensione spazio vettoriale generato da n matrici
- Copia tutti gli elementi delle matrici lungo le righe di una nuova matrice
- Rango matrice = dimensione
Stabilire se f è diagonalizzabile
Molteplicità algebrica di ogni Autovalore = molteplicità geometrica
Determinare il piano che contiene due rette
- Le rette sono complanari, quindi i loro vettori direttori sono ortogonali al vettore normale del piano
- Calcolare il vettore normale del piano mediante il prodotto vettoriale tra i due vettori direttori
[(y1z2 - z1y2), (z1x2 - x1z2), (x1y2 - y1x2)] - Sostituire le componenti a,b,c nell’equazione cartesiana del piano e sostituire in x0,y0,z0 le coordinate di un punto delle due rette
Verificare che f è un endomorfismo
Verificare le due proprietà di linearità
Trovare una base del Ker f
Sistema delle equazioni di f uguagliate a 0
Data un’applicazione lineare, si calcoli f^-1(v)
Si crea un sistema che eguagli le componenti di f alla relativa componente del vettore v.
Si risolve.
Rappresentare una retta passante per P(x0, y0, z0) e parallela a v(l, m, n)
Scriverla in forma parametrica
x = x0 + lt
y = y0 + mt
z = z0 + nt
Stabilire se 3 punti sono allineati
Se hanno componenti proporzionali, ovvero la matrice formata dai componenti ha rango 1
Angolo tra due rette incidenti
Basta trovarne uno perché sono a due a due opposti e supplementari.
cos(rs) = (LL’ + MM’) / √(L²+M²) • √(L’²+M’²)
Distanza punto - punto
√[(x’-x)²+(y’-y)²+(z’-z)²]
Distanza punto - retta
[|ax⁰+by⁰+c|] / √(a²+b²)
Distanza punto - piano
|ax⁰+by⁰+cz⁰+d| / √(a²+b²+c²)
