7. Rette e piani nello spazio Flashcards
Definizione - Riferimento cartesiano affine dello spazio ordinario S
Una coppia ordinata costituita da un punto dello spazio detto origine e una base di R³.
Definizione - Equazione cartesiana del piano
a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0
Al variare di a, b, c rappresenta la totalità dei piani passanti per P0: stella di piani di centro P0.
I coefficienti a, b, c costituiscono le componenti di un vettore ortogonale al piano stesso.
ax + by+ cz + d = 0
Se un coefficiente è nullo, il piano è parallelo all’asse della relativa incognita.
Se d è nullo, il piano passa per l’origine.
Definizione - Equazione vettoriale del piano
Tre vettori complanari definiscono un piano.
Sono linearmente dipendenti, quindi si esprime come combinazione lineare di uno degli altri.
v = u+w
Definizione - Equazioni parametriche del piano
Un sistema formato da:
x = x0 + ul+ vl’
y = y0 + um + vm’
z = z0 + un + vn’
Al variare di u, v le equazioni restituiscono le coordinate di tutti i punti del piano.
Posizione reciproca di due piani nello spazio
- Paralleli se non hanno alcun punto in comune, oppure se sono coincidenti
- Incidenti se si intersecano secondo una retta r
Gli eventuali punti di intersezione hanno coordinate (x, y, z): soluzione del sistema lineare formato dalle due equazioni dei piani.
Il sistema può essere:
-Compatibile: r(A) = r(A’) = 2 : ♾️^1 = punti della retta intersezione dei due piani
-Compatibile: r(A) = r(A’) = 1 : ♾️^2 = tutti i punti di un piano = coincidenti
Teorema - Condizione necessaria e sufficiente affinché due piani siano paralleli
Il rango della matrice del sistema formato dalle due equazioni ha rango 1.
Definizione - Fascio di piani
-Fascio improprio di piani: la totalità dei piani paralleli ad un piano
-Fascio proprio di piani di asse r: la totalità dei piani passanti per la retta r
Equazioni parametriche della retta
x = x0 + lt
y = y0 + mt
z = z0 + nt
Definizione - Parametri direttori
Le componenti (l, m, n) di un vettore non nullo parallelo a r.
Le componenti del versore di v si dicono i coseni direttori di r.
Il vettore v è detto vettore direzionale di r.
Posizione reciproca tra una retta e un piano
Sostituire le equazioni parametriche della retta r all’interno dell’equazione del piano.
(al + bm + cn)t + ax0 + by0 + cz0 + d = 0
- (al + bm + cn) ≠ 0 : Unica soluzione t = (ax0 + by0 + cz0 + d) / (al + bm + cn) : Incidenti in un punto
- (al + bm + cn) = 0 e ax0 + by0 + cz0 + d = 0 : indeterminata : tutta la retta appartiene al piano
- (al + bm + cn) = 0 e ax0 + by0 + cz0 + d ≠ 0 : impossibile : non si incontrano
Definizione - Stella impropria di piani
Totalità dei piani paralleli a una stessa retta.
Posizione reciproca di due rette
+ Complanari: se esiste un piano che le contenga entrambe
+ Sghembe: in caso contrario
+ Parallele: nessun punto in comune, oppure coincidenti
+ Incidenti: un solo punto in comune
Definizione - Stella di rette
-Propria: totalità delle rette dello spazio passanti per un punto C (centro)
-Impropria: totalità delle rette dello spazio tra loro parallele
Stabilire posizione reciproca di due rette - Metodo Geometrico
1) Siano r = (l, m, n) e s = (l’, m’, n’) due vettori direttori di r ed s
Se i due vettori sono paralleli, allora le rette sono PARALLELE.
2) Sia P0 = (x0, y0, z0) un punto di r e P1 = (x1, y1, z1) un punto di s.
I tre vettori liberi r, s e P0P1 sono complanari se e solo se il loro prodotto misto è nullo.
Quindi:
a) determinante matrice dei vettori nullo : complanari : INCIDENTI
b) non nullo : SGHEMBE
Stabilire posizione reciproca di due rette r e s - Metodo algebrico
1) Considerare le equazioni cartesiane di r e s
2) Scriverle per ottenere un sistema di 4 equazioni in 3 incognite
3) Se il determinante della matrice è nullo, allora sono COMPLANARI
