2. Spazi vettoriali e applicazioni lineari Flashcards
Definizione - Spazio vettoriale
Siano (K, +, •) un campo e V un insieme non vuoto su cui risultano definite:
1. L’operazione interna (+)
2. L’operazione esterna (•)
La struttura algebrica (V, +, •) è uno spazio vettoriale sul campo K se:
1. (V,+) è un gruppo abeliano
2. Esiste la proprietà distributiva prodotto-somma, e somma-prodotto
3. Esiste la proprietà associativa
4. Esiste l’elemento neutro del prodotto (1)
Definizione - Combinazione lineare
Assegnati n vettori di uno spazio vettoriale V su K, ed n scalari λ appartenenti al campo K.
v := λ1v1 + λ2v2 + … + λn
è una combinazione lineare di coefficienti λn
Definizione - Vettore linearmente dipendente
Se esistono n scalari NON TUTTI NULLI tali che la combinazione lineare di v sia uguale a zero.
- Se e solo se v = 0.
- Se e solo se almeno uno di più vettori vn può esprimersi come combinazione lineare degli altri.
- Due vettori liberi sono lin. dipendenti se e solo se sono paralleli.
- Tre vettori liberi sono lin. dip. se e solo se sono complanari.
Definizione - Vettore linearmente indipendente
Se e solo se l’unica combinazione lineare uguale a zero è quella con tutti i coefficienti nulli.
Definizione - Sottospazio vettoriale
Un sottoinsieme di uno spazio vettoriale che è anch’esso uno spazio vettoriale rispetto alle restrizioni delle operazioni di somma e prodotto definite su V.
Teorema - Caratterizzazione dei sottospazi vettoriali
Sia V uno spazio vettoriale su K.
Un sottoinsieme non vuoto S di V è un sottospazio vettoriale se e solo se è chiuso rispetto alla somma e al prodotto con uno scalare.
Definizione - Somma diretta
Denominazione del sottospazio somma qualora il suo sottospazio intersezione fosse banale (intersezione uguale a 0).
Definizione - Base di V
Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato.
Un insieme di vettori si dice base di V se:
1. I vettori sono linearmente indipendenti
2. I vettori costituiscono un sistema di generatori di V, cioè ogni altro vettore di V è combinazione lineare di tali vettori.
Teorema - Dimensione di uno spazio vettoriale
Tutte le basi di uno spazio V contengono lo stesso numero di vettori.
Inoltre, la dimensione di V è uguale proprio a quel numero di vettori.
Definizione - Matrice di passaggio dalla base B alla base C
La matrice quadrata A che ha come j-esima colonna le componenti del vettore vj rispetto a B.
B = A•C
Tabella applicazione lineare - omomorfismo
- Ingettiva - Monomorfismo
- Surgettiva - Epimorfismo
- Bigettiva - Isomorfismo
Definizione - Nucleo e immagine
- Nucleo: insieme dei vettori la cui immagine è 0
- Immagine: insieme dei vettori che hanno una corrispondenza nell’insieme di partenza
dim Ker = Nullità
dim Im = Rango
Teorema - Condizione necessaria e sufficiente perché un’applicazione lineare sia ingettiva
- Ker(f) = {0} (cioè solo il vettore nullo ha immagine zero)
