1. Nozioni preliminari. Strutture algebriche

Question 1

Definizione - Corrispondenza

Answer 1

Assegnati due insiemi non vuoti A e B, una corrispondenza tra A e B è un sottoinsieme R del prodotto cartesiano A × B.

Se A = B, una corrispondenza è detta RELAZIONE su A.

Question 2

Definizione - Funzione

Answer 2

Una funzione (o applicazione) da un insieme A ad un insieme B è una legge che associa ogni elemento a appartenente ad A uno e un solo elemento b appartenente a B.

Question 3

Definizione - Funzione ingettiva

Answer 3

Se associa ad elementi distinti di A, elementi distinti di B.

Question 4

Definizione - Surgettiva

Answer 4

Se l’immagine di f coincide con il codominio B

Question 5

Teorema - Condizione necessaria e sufficiente per cui una funzione è bigettiva

Answer 5

Una funzione f:A-›B è bigettiva se e solo se esiste una funzione g:B-›A tale che risulti g°f = applicazione identica in A e f°g = applicazione identica in B.

Questa è detta funzione inversa

Question 6

Definizione - Relazione di equivalenza

Answer 6

Una relazione che gode di proprietà riflessiva, simemtrica e transitiva

Question 7

Definizione - Partizione

Answer 7

Una famiglia di sottoinsiemi di A tale che:
1. Nessuno sia vuoto
2. Siano tutti disgiunti tra loro
3. L’unione di tutti sia A

Question 8

Definizione - Classe di equivalenza

Answer 8

Sia R una relazione di equivalenza su A e a appartenente ad A.
Si definisce classe di equivalenza di a rispetto a R:
L’insieme di tutti gli elementi appartenenti ad A, tali che siano in relazione R con A.

Question 9

Definizione - Relazione d’ordine

Answer 9

Relazione che gode della proprietà riflessiva, ANTIsimmetrica e transitiva.

Question 10

Definizione - Operazione binaria interna

Answer 10

Ogni applicazione tale che w : S×S -› S

Question 11

Definizione - Struttura algebrica

Answer 11

Insieme non vuoto dotato di una o più operazioni (interne o esterne).

Question 12

Definizione - Gruppo

Answer 12

Una struttura algebrica dotata di:
1. Proprietà associativa
2. Elemento neutro (unico)
3. Elemento simmetrico (unico ad ogni elemento)

Question 13

Definizione - Gruppo commutativo / abeliano

Answer 13

Un gruppo che soddisfa la proprietà commutativa.

Question 14

Definizione - Gruppo delle permutazioni

Answer 14

L’insieme di tutte le applicazioni bigettive f:A-›A
Si indica con Sym(A).

Question 15

Definizione - Campo

Answer 15

Un insieme non vuoto dotato di due operazioni binarie interne (+ e •) e tale che:
1.(K, +) e (K, •) siano dei gruppi abeliani
2. Esista la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma

Question 16

Definizione - Matrice

Answer 16

Una tabella costituita da m×n elementi del campo K disposti ordinatamente lungo m linee orizzontali (righe) e n linee verticali (colonne).

Gli elementi si indicano con una lettera dotata di due indici, rispettivamente riga e colonna a cui appartiene.

Question 17

Definizione - Diagonale principale

Answer 17

La n-upla ordinata avente indici di riga e colonna uguali in una matrice quadrata

Question 18

Definizione - Traccia di una matrice

Answer 18

Lo scalare definito dalla SOMMA degli elementi della diagonale principale

Question 19

Definizione - Matrice trasposta

Answer 19

La matrice n×m di una matrice m×n

Question 20

Definizione - Prodotto righe per colonne

Answer 20

DA MODIFICARE AGGIUNGERE FORMULA
La matrice i cui elementi sono dati dalla somma dei prodotti tra gli elementi di ogni riga di A e gli elementi di ogni colonna di B.

Question 21

Definizione - Matrici permutabili

Answer 21

Se AB = BA

Question 22

Definizione - Matrice simmetrica

Answer 22

Sono uguali gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale principale.
a_ij = a_ji

Question 23

Definizione - Matrice invertibile

Answer 23

Una matrice quadrata si dice invertibile se esiste una matrice B tale che:
AB = BA = Matrice identica

Question 24

Definizione - Matrici triangolari e diagonale

Answer 24

1. Triangolare Alta: tutti elementi SOTTO la diagonale nulli
2. Triangolare Bassa: tutti elementi SOPRA la diagonale nulli
3. Diagonale: SOTTO e SOPRA diagonale nulli