1. Nozioni preliminari. Strutture algebriche Flashcards
Definizione - Corrispondenza
Assegnati due insiemi non vuoti A e B, una corrispondenza tra A e B è un sottoinsieme R del prodotto cartesiano A × B.
Se A = B, una corrispondenza è detta RELAZIONE su A.
Definizione - Funzione
Una funzione (o applicazione) da un insieme A ad un insieme B è una legge che associa ogni elemento a appartenente ad A uno e un solo elemento b appartenente a B.
Definizione - Funzione ingettiva
Se associa ad elementi distinti di A, elementi distinti di B.
Definizione - Surgettiva
Se l’immagine di f coincide con il codominio B
Teorema - Condizione necessaria e sufficiente per cui una funzione è bigettiva
Una funzione f:A-›B è bigettiva se e solo se esiste una funzione g:B-›A tale che risulti g°f = applicazione identica in A e f°g = applicazione identica in B.
Questa è detta funzione inversa
Definizione - Relazione di equivalenza
Una relazione che gode di proprietà riflessiva, simemtrica e transitiva
Definizione - Partizione
Una famiglia di sottoinsiemi di A tale che:
1. Nessuno sia vuoto
2. Siano tutti disgiunti tra loro
3. L’unione di tutti sia A
Definizione - Classe di equivalenza
Sia R una relazione di equivalenza su A e a appartenente ad A.
Si definisce classe di equivalenza di a rispetto a R:
L’insieme di tutti gli elementi appartenenti ad A, tali che siano in relazione R con A.
Definizione - Relazione d’ordine
Relazione che gode della proprietà riflessiva, ANTIsimmetrica e transitiva.
Definizione - Operazione binaria interna
Ogni applicazione tale che w : S×S -› S
Definizione - Struttura algebrica
Insieme non vuoto dotato di una o più operazioni (interne o esterne).
Definizione - Gruppo
Una struttura algebrica dotata di:
1. Proprietà associativa
2. Elemento neutro (unico)
3. Elemento simmetrico (unico ad ogni elemento)
Definizione - Gruppo commutativo / abeliano
Un gruppo che soddisfa la proprietà commutativa.
Definizione - Gruppo delle permutazioni
L’insieme di tutte le applicazioni bigettive f:A-›A
Si indica con Sym(A).
Definizione - Campo
Un insieme non vuoto dotato di due operazioni binarie interne (+ e •) e tale che:
1.(K, +) e (K, •) siano dei gruppi abeliani
2. Esista la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma
Definizione - Matrice
Una tabella costituita da m×n elementi del campo K disposti ordinatamente lungo m linee orizzontali (righe) e n linee verticali (colonne).
Gli elementi si indicano con una lettera dotata di due indici, rispettivamente riga e colonna a cui appartiene.
Definizione - Diagonale principale
La n-upla ordinata avente indici di riga e colonna uguali in una matrice quadrata
Definizione - Traccia di una matrice
Lo scalare definito dalla SOMMA degli elementi della diagonale principale
Definizione - Matrice trasposta
La matrice n×m di una matrice m×n
Definizione - Prodotto righe per colonne
DA MODIFICARE AGGIUNGERE FORMULA
La matrice i cui elementi sono dati dalla somma dei prodotti tra gli elementi di ogni riga di A e gli elementi di ogni colonna di B.
Definizione - Matrici permutabili
Se AB = BA
Definizione - Matrice simmetrica
Sono uguali gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale principale.
a_ij = a_ji
Definizione - Matrice invertibile
Una matrice quadrata si dice invertibile se esiste una matrice B tale che:
AB = BA = Matrice identica
Definizione - Matrici triangolari e diagonale
- Triangolare Alta: tutti elementi SOTTO la diagonale nulli
- Triangolare Bassa: tutti elementi SOPRA la diagonale nulli
- Diagonale: SOTTO e SOPRA diagonale nulli
