4. Sistemi lineari Flashcards
Definizione - Sistema lineare
Un insieme di m equazioni di primo grado in n incognite.
AX = B
A: Matrice dei coefficienti
X: Vettore colonna delle incognite
B: Vettore colonna dei termini noti
-Rettangolare: m ≠ n
-Quadrato: m = n
-Omogeneo: B = 0
Teorema - Teorema di Rouché-Capelli
Sistema compatibile se e solo se rango matrice incompleta = rango matrice completa
1) Sistema determinato: rango = incognite, unica soluzione
2) Sistema indeterminato: rango < incognite, ♾️^n-r
Teorema - Sistema omogeneo
L’insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è un sottospazio vettoriale di K.
Teorema - Rappresentazione dei sottospazi di K^n
Un sottospazio vettoriale S di K^n di dimensione k può essere rappresentato come l’insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo di n-k equazioni in n incognite.
Teorema - Teorema di Cramer
Un sistema di Cramer è un sistema lineare di n equazioni in n incognite, che ammette un’unica soluzione vn.
La soluzione si ottiene dividendo il determinante della matrice A con la colonna della i-esima colonna sostituita con quella dei termini noti, per il determinante della matrice originale A.
