6. Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione Flashcards
Definizione - Matrice simile
Due matrici quadrate di ordine n si dicono simili se esiste una matrice P invertibile tale che:
B = P^-1 • A • P
Definizione - Matrice diagonalizzabile
Se è simile ad una matrice diagonale.
Definizione - Autovalore e autovettore
Sia A una matrice quadrata.
Uno scalare λ è detto Autovalore di A se esiste un vettore colonna non nullo X tale che:
AX = λX
Tale vettore è detto autovettore di A relativo all’autovalore λ.
Dunque, λ è un Autovalore di A se e solo se:
|A - λI|= 0
Definizione - Spettro di A
Insieme degli autovalori di A
Spec(A)
Definizione - Polinomio caratteristico
Sia A una matrice quadrata di ordine n.
Si dice polinomio caratteristico di A il polinomio di grado n:
p(x) := |A - xI|
p(x) = 0 è detta equazione caratteristica di A
Dunque, λ è un autovalore di A se e solo se è uno zero del polinomio caratteristico di A.
Definizione - Molteplicità algebrica di λ
Quante volte λ annulla p(x)
Definizione - Autospazio di A associato all’autovalore λ
Il sottospazio vettoriale generato dall’insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo di m equazioni in n incognite su un campo K.
Contiene tutti gli autovettori di A relativi a tale autovalore.
La sua dimensione assume il nome di molteplicità geometrica dell’autovalore λ.
Teorema - Teorema di Cayley-Hamilton
Sia A una matrice quadrata e p(x) il suo polinomio caratteristico.
Allora si ha che la somma tra i prodotti di n coefficienti (a) di p(x) e n matrici A^n è uguale a una matrice nulla di ordine n.
Se A e B sono matrici simili, allora…
- det(A) = det(B)
- r(A) = r(B)
- Tr(A) = Tr(B)
- pA(x) = pB(x)
Quindi A e B hanno gli stessi autovalori
Teorema - Molteplicità geometrica mg(λ)
Sia A una matrice quadrata quadrata di ordine n.
Allora se λ è un autovalore di A:
a) mg(λ) = n - r(A - λI)
b) 1 ≤ mg(λ) ≤ ma(λ)
Teorema - Condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice sia diagonalizzabile
Sia A una matrice quadrata di ordine n.
Essa è diagonalizzabile se e solo se la somma delle dimensioni dei suoi autospazi è uguale a n.
Teorema - Caratterizzazione matrici diagonalizzabili
A è diagonalizzabile se e solo se:
a) tutti gli zeri del polinomio p(x) appartengono al campo K.
b) per ogni autovalore λ di A si ha che mg = ma (l’autovalore si dice regolare)
Teorema - Condizioni sufficienti diagonalizzabilità
- Una matrice di ordine n ha n autovalori distinti
- Una matrice è reale e simmetrica
Definizione - Spazio vettoriale euclideo
Spazio vettoriale dotato di prodotto scalare euclideo
Definizione - Norma di un numero reale
||v|| := √(v • v)
