Derivatan med avseende på blandade variabler Flashcards
Vad innebär det att ta derivatan med avseende på en variabel i en funktion med flera variabler?
Att ta derivatan med avseende på en variabel i en funktion med flera variabler innebär att vi håller alla andra variabler konstanta och beräknar hur funktionen förändras med avseende på den valda variabeln.
Hur deriverar vi en funktion f(x, y) med avseende på x, där y är en funktion av x?
Om f(x, y) är en funktion av både x och y, och y är en funktion av x, så använder vi kedjeregeln. Derivatan med avseende på x blir:
* df/dx = ∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx Där ∂f/∂x är den partiella derivatan med avseende på x, och ∂f/∂y är den partiella derivatan med avseende på y. dy/dx är derivatan av y med avseende på x.
Vad betyder det att ta den partiella derivatan av en funktion?
Den partiella derivatan beskriver hur en funktion förändras med avseende på en specifik variabel, medan vi håller de andra variablerna konstant. Det innebär att vi bara tittar på hur funktionen ändras om en viss variabel ändras, medan de andra förblir oförändrade.
Ge ett exempel på en funktion där du använder den partiella derivatan
För en funktion f(x, y) = x² + y³, där både x och y är oberoende variabler:
* Den partiella derivatan med avseende på x (∂f/∂x) blir 2x.
* Den partiella derivatan med avseende på y (∂f/∂y) blir 3y².
Om z är en funktion av x och y, dvs. z = f(x, y), hur beräknar du den totala derivatan dz/dt om x och y är funktioner av t?
För att beräkna den totala derivatan dz/dt använder vi kedjeregeln:
* dz/dt = ∂z/∂x * dx/dt + ∂z/∂y * dy/dt Där ∂z/∂x och ∂z/∂y är de partiella derivatorna av z med avseende på x och y, och dx/dt samt dy/dt är derivatorna av x respektive y med avseende på t.
Hur beräknar vi den partiella derivatan av en funktion som beskriver hastigheten, v(t) = x(t)² + y(t)², med avseende på t?
För att beräkna den partiella derivatan av hastigheten v(t) med avseende på t, använder vi kedjeregeln:
* dv/dt = 2x(t) * dx/dt + 2y(t) * dy/dt Där x(t) och y(t) är funktioner av t, och dx/dt samt dy/dt är de tidsderivatorna av x och y.
Vad händer om vi har en funktion f(x, y, t) där t är den oberoende variabeln? Hur beräknar vi den totala derivatan df/dt?
: Om f(x, y, t) är en funktion där x och y är funktioner av t, beräknar vi den totala derivatan df/dt med kedjeregeln:
* df/dt = ∂f/∂x * dx/dt + ∂f/∂y * dy/dt + ∂f/∂t Det innebär att vi måste beräkna hur f ändras med avseende på x, y och t och ta hänsyn till deras respektive derivator med avseende på t.
Vad är skillnaden mellan en partiell derivata och en total derivata?
En partiell derivata beräknas när vi håller alla andra variabler konstant, medan en total derivata beräknas när vi tar hänsyn till hur alla variabler förändras över tid eller i relation till en annan oberoende variabel
Om x och y är funktioner av t, hur deriverar vi funktionen f(x(t), y(t)) med avseende på t?
För att derivera funktionen f(x(t), y(t)) med avseende på t använder vi kedjeregeln:
* df/dt = ∂f/∂x * dx/dt + ∂f/∂y * dy/dt Här tar vi den partiella derivatan av f med avseende på x och y, och multiplicerar med de respektive derivatorna av x och y med avseende på t.
Hur använder vi kedjeregeln när vi har en funktion f(x(t), y(t)) som beror på t genom x och y?
Kedjeregeln används för att beräkna den totala derivatan av f(x(t), y(t)) med avseende på t. Den totala derivatan är:
* df/dt = ∂f/∂x * dx/dt + ∂f/∂y * dy/dt Här beräknas ∂f/∂x och ∂f/∂y som de partiella derivatorna av f med avseende på x och y, och dx/dt samt dy/dt är hastigheterna med vilka x och y förändras över tiden.
