chap.4 : limite et continuité

Question 1

Qu’est ce que le voisinage d’un point dans ℝ ?

Answer 1

Le voisinage de a dans ℝ, c’est toute partie de ℝ qui contient un intervalle ouvert tel que : ] a- η ; a + η [.
intervalle centré sur a.

Question 1

Qu’est ce que le voisinage du point a dans D (l’ensemble de définition de la fonction) ?

Answer 1

Toute intersection de D avec un voisinage de a dans ℝ.

Question 2

Définition de la limite avec les quantificateurs :

Answer 2

Soit f une fonction définie sur Ω (int. ouvert), a un point de Ω et f une fonction définie sur Ω (sauf éventuellement en a).
f(x) tend vers a si :
∀ε > 0, ∀η > 0, ∀x ∈ Ω,
{( 0 < | x-a| < η) ⇒ (| f(x) - l | < ε )}
on peut remplacer avec des signes d’inégalité stricte

Question 3

Qu’est ce que la limite à droite ?

Answer 3

f admet une lim à droite si :
sa lim en x>a est égale à sa lim en x –> a+ = ld
autrement dit, si :
∀ε > 0, ∀η > 0, ∀x ∈ ℝ privé de a, (a<x<a+η) implique : ( |f(x) - ld| < ε

Question 4

Qu’est ce que la limite à gauche ?

Answer 4

f admet une lim à gauche si :
sa lim en x<a est égale à sa lim en x –> a- = lg
autrement dit, si :
∀ε > 0, ∀η > 0, ∀x ∈ ℝ privé de a, (a-η<x<a) implique : ( |f(x) - lg| < ε

Question 5

Quand est-ce que f admet une limite en a ?

Answer 5

Quand sa limite à gauche en a est égale à sa limite à droite en a. : lg = ld

Question 6

Si f admet une limite en a que se passe-t-il ?

Answer 6

la limite est unique

Question 7

limite d’un intervalle du type [ ω ; +∞ [ :

Answer 7

lim en +∞ de f(x) = l
équivalent à :
∀ε > 0, ∃A ⩾ ω, ∀x > ω, (x > A) implique (| f(x) - l| < ε )

Question 8

limite d’un intervalle du type ] -∞ ; ω [

Answer 8

lim en +∞ de f(x) = l
équivalent à :
∀ε > 0, ∃ B ⩽ ω, ∀x > ω, (x < B) implique (| f(x) - l| < ε )

Question 9

généralisation de la limite en +infini : soit f, définie sur Ω privé de a

Answer 9

f(x) tend vers +∞ :
équivalent à :
(∀a de R, ∃η > 0, ∀x de Ω privé de a,
( 0 < | x - a| < η ) implique : (f(x) > a)

Question 10

caractérisation des limites par les suites :

Answer 10

la lim en a de f(x) = l
équivalent à dire :
∀ (Xn); ∀n ∈ Ω \ {a}, si (lim Xn en +∞ = a) alors (f(Xn) en +∞ = l)

Question 11

Pour toute limite à droite en a : propriété avec les suites

Answer 11

si lim en a+ de f(x) =l
alors si (xn -> a quand n -> +∞ ET si Xn > a )
ALORS f(Xn) = l quand n -> +∞

Question 12

Pour toute limite à gauche en a : propriété avec les suites

Answer 12

si lim en a- de f(x) =l
alors si (xn -> a quand n -> +∞ ET si Xn < a )
ALORS f(Xn) = l quand n -> +∞

Question 13

Ordre et limite : cas où l>0, f(x) sur Ω \ {a}
lim f(x) = l
x->a

Answer 13

Il existe Ω’ ouvert de ℝ contenant a et on a ∀x ∈ Ω’ \ {a} : f(x) > 0

Question 14

Ordre et limite : cas où l<0, f(x) sur Ω \ {a}
lim f(x) = l
x->a

Answer 14

Il existe Ω’ ouvert de ℝ contenant a et on a ∀x ∈ Ω’ \ {a} : f(x) < 0

Question 15

comparaison : si lim en a de g(x) = 0 et
|f(x)| < g(x) alors :

Answer 15

lim en a de f(x) = 0
car -g < f < g + théo des gendarmes

Question 16

comparaison : si f est bornée et lim en a de g = 0

Answer 16

lim en a de (f°g) = 0

Question 17

Composition de limites :

Answer 17

lim f(x) = b et g(b) = l
x-> a
alors lim en a de g°f = l

Question 18

fonctions monotones et limites : f est croissante et définie sur ] a, b [

Answer 18

• si f est majorée : limite finie en b = sup(f)
• si f n’est pas majorée alors tend vers +∞ en b
• si f est minorée : limite finie en a = inf(f)
• si pas minorée : alors tend vers -∞ en a

Question 19

fonctions monotones et limites : f est décroissante et définie sur ] a, b [

Answer 19

• si f est majorée : limite finie en a = sup(f)
• si f est minorée : limite finie en b = inf(f)

Question 20

définition formelle de la continuité :

Answer 20

∀Ɛ > 0, ∃ η >0, ∀x∈Ω,
( | x-a | < η) ⇒ ( | f(x) - f(a) | < Ɛ)

Question 21

définition de la continuité :

Answer 21

lim f(x) = f(a)
x ->a

Question 22

Continuité à droite en a :

Answer 22

lim f(x) = f(a)
x ->a+

Question 23

Définition formelle de la continuité à droite en a :

Answer 23

∀Ɛ > 0, ∃ η >0, ∀x∈Ω,
( a ⩽ x < a + η) ⇒ ( | f(x) - f(a) | < Ɛ)

Question 24

continuité à gauche en a :

Answer 24

lim f(x) = f(a)
x->a-

Question 25

définition formelle de la continuité à gauche en a :

Answer 25

∀Ɛ > 0, ∃ ∀Ɛ > 0, ∃ η >0, ∀x∈Ω,
( a -η ⩽ x < a) ⇒ ( | f(x) - f(a) | < Ɛ)

Question 26

à quelle condition f est continue sur Ω ?

Answer 26

si elle est continue en tout point de Ω

Question 27

avec le même changement de variable qu’au chap. 5, si on prend x = a +h, impact sur la déf de la continuité ?

Answer 27

s’écrit :
lim f(a+h) = f(a)
h->0

Question 28

Théorème : continuité par les suites :

Answer 28

(f continue en a)

(pour toute suite (Xn) à valeurs dans Ω qui converge vers a, la lim en +∞ de f(Xn) = f(a)

Question 29

Quelles sont les opérations sur des fx continues qui donnent une fonction continue ?

Answer 29

• la somme
• le produit
• le produit par un scalaire
• la valeur absolue
• le quotient par 1
• le quotient
• la composition

Question 30

Continuité des fonctions usuelles :

Answer 30

• fx polynômes sur tout ℝ
• fx fractions rationnelles : P(x) / Q(x);
  pour tout x de ℝ tq Q(x) diff de 0
• ex, ln, cos, sin, là où elles sont définies

Question 31

f prolongeable par continuité :

Answer 31

si la lim en a de f(x) existe et qu’elle est définie alors f est prolongeable

Question 32

le prolongement de f :

Answer 32

• f(x) si x ≠ a
• l si x=a

Question 33

Théorème : cas particulier du TVI)

Answer 33

f continue sur Ω.
a et b de Ω, (a<b) et f(a) x f(b) < 0
alors ∃ c ∈ ] a, b[ tq f(c) = 0

Question 34

TVI :

Answer 34

f continue sur Ω
∀k ∈ ]f(a) ; f(b)[ si f(a) < f(b)
∀k ∈ ]f(b) ; f(a)[ si f(a) > f(b)
∃ c ∈ ]a,b[ tq f(c) = k
= il existe un antécédent pour chaque image

Question 35

corollaire du TVI :

Answer 35

L’image d’un intervalle de ℝ par une fonction continue est un intervalle de ℝ

Question 36

Théorème : continue et bornes :

Answer 36

f continue sur [a,b], bornée et atteint ses bornes. a<b
1) f admet une borne sup et une borne inf.
2) ∃ xm et xM appartenant à [a,b] tels que :
f(xm) = inf (f) = m
f(xM) = sup(f) = M
conséquence : l’image d’un segment par une fx continue est un segment

Question 37

Propriétés sur les fonctions strictement monotones : f : Ω -> f(Ω)
est strictement croissante

Answer 37

1) f est bijective
2) f-1 est strictement croissante sur f(Ω)
f n’est pas forcément continue

Question 38

Propriétés sur les fonctions strictement monotones : f : Ω -> f(Ω)
est strictement décroissante

Answer 38

1) f est bijective
2) f-1 est strictement décroissante sur f(Ω)
f n’est pas forcément continue

Question 39

continuité et monotonie : f : Ω -> ℝ continue et strictement monotone

Answer 39

1) f est bijective
2) f(Ω) est un intervalle de R en particulier si Ω est ouvert alors f(Ω) est ouvert aussi
3) f-1 est continue sur f(Ω)
4) f-1 suit la monotonie de f

Question 40

si f est continue, bijective sur Ω inclus dans R, conséquence sur f-1(x) ?

Answer 40

la réciproque est continue sur f(Ω)