chap.2_Applications (nb réels)

Question 1

Qu’est ce qu’une application ?

Answer 1

Une application de E (ensemble de départ) dans F (ensemble d’arrivée) est une correspondance qui à TOUT élément de E associe UN SEUL élément de F

Question 2

Qu’est ce qu’une fonction ?

Answer 2

Une fonction de E dans F est une application du domaine de fonction inclus dans E, dans F.

Question 3

Pourquoi est-ce qu’une fonction devient une application sur son domaine de définition ?

Answer 3

Car là où la fonction est définie, chaque x possède une image dans l’ensemble d’arrivée = déf de l’application.

Question 4

Qu’est ce que l’application identité de E ?

Answer 4

E, non vide.
IdE : E –> E
x –> IdE =x
autrement dit : c’est l’appli qui à tout x associe x

Question 5

Graphiquement, comment se traduit l’égalité entre deux fonctions ?

Answer 5

Leurs deux graphes se superposent parfaitement.

Question 6

Qu’est ce que l’image d’une application ?

Answer 6

ensemble des éléments y de F tels qu’il existe au moins un él. de E tel que : y = f(x)

Question 7

Montrer que R = Imf :

Answer 7

Imf C R
R C Imf ( montrer qu’il existe un antécédent x dans r tel que f(x)

Question 8

Qu’est ce qu’une application injective ?

Answer 8

f : E dans F
∀ x, x’ appartenant à E : (fx = fx’) implique (x = x’).
Tout élément de F admet au plus un antécédent dans E

Question 9

Prouver l’injection avec les appli identités :
f : R dans R
x –> x

Answer 9

on a : Ide(x) = Ide(x’)
donc : x = x’

Question 10

Qu’est ce qu’une application surjective ?

Answer 10

f de E dans f.
Surjective si ∀ y ∈ F, il existe (au moins) un x ∈ E tel que f(x)=y.
= toute image possède au moins un antécédent dans l’ensemble de départ

Question 11

Conséquence sur Imf si appli surjective ?

Answer 11

Si l’application est surjective, on a : Imf = F.
(peut servir à démontrer que A surjective)
en effet : chaque y a un antécédent : donc x a une image : l’ensemble des images est ainsi égal à F.

Question 12

Qu’est ce qu’une application bijective ?

Answer 12

f de E dans f.
Bijective si pour tout y ∈ F, il existe un unique x ∈ E tel que f(x)=y.
Tout y a un unique antécédent.

Question 13

Si A est bijective, c’est équivalent à :

Answer 13

A est surjective et A est injective (preuve par double impli)

Question 14

Commutativité de la composée de deux fonctions :

Answer 14

Non commutative :
(g ° f) n’est pas égal à (f ° g)

Question 15

Associativité de la composition :

Answer 15

Composition associative :
(h°g)°f = h°(g°f) = (h°f)°g

Question 16

Composition et Ide :

Answer 16

f: de E dans F
IdE de E dans E
IdF de F dans F
On a : f°IdE = f
IdF°f = f

Question 17

Composition et Ide : cas particulier :

Answer 17

Si E = F :
IdE°f = f°IdE = f

Question 18

Théorème de la bijection et de sa réciproque :
f : E dans F

Answer 18

1) f est bijective ssi il existe une application g de F dans E telle que f°g=IdF et g°f = IdE
2) Si f est bijective alors g est unique et elle même est bijective, notée f-1 : c’est la bijective réciproque.

Question 19

Appli réciproque d’une composée :

Answer 19

(g ° f) -1 = f-1 ° g-1

Question 20

(grandR, =<) est une relation d’ordre car :

Answer 20

1) réflexive : x ≤ x
2) antisymétrique : si x≤ y et si y ≤ x, alors x=y
3) Transitive : si x ≤ y et y ≤ z, alors x ≤ z

Question 21

Pourquoi est-ce que grandR est totalement ordonné ?

Answer 21

Car on peut comparer n’importe quel nb de grandR

Question 22

Proposition d’Archimède ?

Answer 22

∀ x dans grandR, il existe n appartenant à grandN, n > x

Question 23

Quel grand ensemble vérifie la prop. d’Archimède ?

Answer 23

R est archimédien.

Question 24

Qu’est ce qu’un intervalle de Grand R ?

Answer 24

Toute partie de R ayant l’une des formes suivantes :

Question 25

Intervalles ouverts :

Answer 25

• Grand R
• Ensemble vide
• ] - ∞ ; a [
• ] a ; +∞[
• ]a ; b [

Question 26

Intervalles fermés :

Answer 26

• GrandR
• Ensemble vide
• ] -∞ ; a]
• [a ; +∞[
• [a ; b]

Question 27

Les deux autres type d’intervalles :

Answer 27

• [ a ; b [
• ] a ; b]

Question 28

Notations de l’intervalle : a et b sont appelés …

Answer 28

les extrémités de (a,b)

Question 29

qu’est ce que la longueur de (a,b) ?

Answer 29

(b-a)

Question 30

qu’est ce que le centre de (a,b) ?

Answer 30

(a+b) / 2

Question 31

L’intersection d’un nb fini d’intervalles ouverts est …

Answer 31

un intervalle ouvert

Question 32

L’intersection d’un nb fini d’intervalles fermés est …

Answer 32

un intervalle fermé

Question 33

Caractérisation d’un Intervalle :

Answer 33

x1 < x2
Si I est un intervalle alors :
pour tout x1 et x2 ∈ I,
[x1 ; x2] C I

Question 34

Caractérisation 1 d’un intervalle ouvert :

Answer 34

Si I est un intervalle ouvert, alors ∀ x de I, il existe au moins un α > 0 ; ] x - α ; x + α [ est inclus dans I

Question 35

Caractérisation 2 d’un intervalle ouvert :

Answer 35

Si I est un intervalle ouvert, alors ∀ x de I, il existe un intervalle ouvert Ω, x ∈ Ω et Ω C I

Question 36

Remarque sur les intervalles ouverts et les rationnels ?

Answer 36

∀ intervalle ouvert de R, non vide, entre deux nombre rationnels il y a une infinité de nb irrationnels. Il y aussi une infinité de nb rationnels
Entre deux rationnels il y a au moins un irrationnel et entre deux réels, il existe un moins un nb rationnel

Question 37

L’application A est dite majorée si …

Answer 37

Il existe M de grandR, pour tout x de A; M ≥ x

Question 38

L’application A est dite minorée si …

Answer 38

Il existe m de grandR, pour tout x de A; m ≤ x

Question 39

L’application A est dite bornée si …

Answer 39

A est minorée et majorée à la fois :
Il existe M de grandR, pour tout x de A; | x | ≤ M

Question 40

Quand est ce qu’il existe
un minimum à A ?

Answer 40

Quand A est minorée par m et que m appartient également à A.
Le minimum de A est le plus petit élément de A

Question 41

Quand est ce qu’il existe
un maximum à A ?

Answer 41

Quand A est majorée par M et que M appartient également à A.
Le maximum de A est le plus grand élément de A

Question 42

Qu’est ce que la borne supérieure ?

Answer 42

Si A est non-vide et majorée, alors A admet une borne supérieure, notée sup(A).
sup(A) fait partie des majorants de A et c’est le + petit de tous :
sup(A) = min (M)

Question 43

Quel est l’axiome de la borne sup ?

Answer 43

Toute partie non vide de R et majorée admet une borne supérieure.

Question 44

1ère caractérisation de la borne sup ?

Answer 44

sup(A) est l’unique réel vérifiant :
- ∀x de A, x ≤ sup(A)
- ∀t de A, (t ≤ sup=(a)) implique qu’il existe un x dans A tel que :
t ≤ x ≤ sup(A)

Question 45

2ème caractérisation de la borne sup ?

Answer 45

Soit A, non vide et majorée.
si il existe sup(A), alors pour tout ε > 0, il existe x de A tel que :
Sup(A) - ε < x < sup(A)

Question 46

Qu’est ce que la borne inférieure de A ?

Answer 46

Si A est non vide et minorée, a admet une borne supérieure min(A) fait partie des minorant de A et c’est le + grand de tous :
inf(A) = max (m) avec m l’ensemble des minorant

Question 47

Quel est l’axiome de la borne inférieure ?

Answer 47

Toute partie non vide de R et minorée admet une borne inférieure.

Question 48

1ère Caractérisation de la borne inférieure

Answer 48

inf(A) est l’unique réel vérifiant :
- ∀x de A, inf(A) ≤ x
- ∀t de A, ( inf(A) ≤ t) implique qu’il existe un x dans A tel que :
Inf(a) ≤ x ≤ t

Question 49

2e caractérisation de la borne inf :

Answer 49

Si il existe inf(A),
∀ ε > 0, il existe au moins un x de A tel que :
inf(A) ≤ x ≤ inf(A) + ε

Question 50

Qu’est ce que la partie entière d’un entier ?

Answer 50

On appelle partie entière de x l’unique entier n de Z tel que :
n ≤ x ≤ n+1
On la note E(X) :
on a : E(x) ≤ x ≤ E(x+1)