chap.2_Applications (nb réels) Flashcards
Qu’est ce qu’une application ?
Une application de E (ensemble de départ) dans F (ensemble d’arrivée) est une correspondance qui à TOUT élément de E associe UN SEUL élément de F
Qu’est ce qu’une fonction ?
Une fonction de E dans F est une application du domaine de fonction inclus dans E, dans F.
Pourquoi est-ce qu’une fonction devient une application sur son domaine de définition ?
Car là où la fonction est définie, chaque x possède une image dans l’ensemble d’arrivée = déf de l’application.
Qu’est ce que l’application identité de E ?
E, non vide.
IdE : E –> E
x –> IdE =x
autrement dit : c’est l’appli qui à tout x associe x
Graphiquement, comment se traduit l’égalité entre deux fonctions ?
Leurs deux graphes se superposent parfaitement.
Qu’est ce que l’image d’une application ?
ensemble des éléments y de F tels qu’il existe au moins un él. de E tel que : y = f(x)
Montrer que R = Imf :
Imf C R
R C Imf ( montrer qu’il existe un antécédent x dans r tel que f(x)
Qu’est ce qu’une application injective ?
f : E dans F
∀ x, x’ appartenant à E : (fx = fx’) implique (x = x’).
Tout élément de F admet au plus un antécédent dans E
Prouver l’injection avec les appli identités :
f : R dans R
x –> x
on a : Ide(x) = Ide(x’)
donc : x = x’
Qu’est ce qu’une application surjective ?
f de E dans f.
Surjective si ∀ y ∈ F, il existe (au moins) un x ∈ E tel que f(x)=y.
= toute image possède au moins un antécédent dans l’ensemble de départ
Conséquence sur Imf si appli surjective ?
Si l’application est surjective, on a : Imf = F.
(peut servir à démontrer que A surjective)
en effet : chaque y a un antécédent : donc x a une image : l’ensemble des images est ainsi égal à F.
Qu’est ce qu’une application bijective ?
f de E dans f.
Bijective si pour tout y ∈ F, il existe un unique x ∈ E tel que f(x)=y.
Tout y a un unique antécédent.
Si A est bijective, c’est équivalent à :
A est surjective et A est injective (preuve par double impli)
Commutativité de la composée de deux fonctions :
Non commutative :
(g ° f) n’est pas égal à (f ° g)
Associativité de la composition :
Composition associative :
(h°g)°f = h°(g°f) = (h°f)°g
Composition et Ide :
f: de E dans F
IdE de E dans E
IdF de F dans F
On a : f°IdE = f
IdF°f = f
Composition et Ide : cas particulier :
Si E = F :
IdE°f = f°IdE = f
Théorème de la bijection et de sa réciproque :
f : E dans F
1) f est bijective ssi il existe une application g de F dans E telle que f°g=IdF et g°f = IdE
2) Si f est bijective alors g est unique et elle même est bijective, notée f-1 : c’est la bijective réciproque.
Appli réciproque d’une composée :
(g ° f) -1 = f-1 ° g-1
(grandR, =<) est une relation d’ordre car :
1) réflexive : x ≤ x
2) antisymétrique : si x≤ y et si y ≤ x, alors x=y
3) Transitive : si x ≤ y et y ≤ z, alors x ≤ z
Pourquoi est-ce que grandR est totalement ordonné ?
Car on peut comparer n’importe quel nb de grandR
Proposition d’Archimède ?
∀ x dans grandR, il existe n appartenant à grandN, n > x
Quel grand ensemble vérifie la prop. d’Archimède ?
R est archimédien.
Qu’est ce qu’un intervalle de Grand R ?
Toute partie de R ayant l’une des formes suivantes :
Intervalles ouverts :
- Grand R
- Ensemble vide
- ] - ∞ ; a [
- ] a ; +∞[
- ]a ; b [
Intervalles fermés :
- GrandR
- Ensemble vide
- ] -∞ ; a]
- [a ; +∞[
- [a ; b]
Les deux autres type d’intervalles :
- [ a ; b [
- ] a ; b]
Notations de l’intervalle : a et b sont appelés …
les extrémités de (a,b)
qu’est ce que la longueur de (a,b) ?
(b-a)
qu’est ce que le centre de (a,b) ?
(a+b) / 2
L’intersection d’un nb fini d’intervalles ouverts est …
un intervalle ouvert
L’intersection d’un nb fini d’intervalles fermés est …
un intervalle fermé
Caractérisation d’un Intervalle :
x1 < x2
Si I est un intervalle alors :
pour tout x1 et x2 ∈ I,
[x1 ; x2] C I
Caractérisation 1 d’un intervalle ouvert :
Si I est un intervalle ouvert, alors ∀ x de I, il existe au moins un α > 0 ; ] x - α ; x + α [ est inclus dans I
Caractérisation 2 d’un intervalle ouvert :
Si I est un intervalle ouvert, alors ∀ x de I, il existe un intervalle ouvert Ω, x ∈ Ω et Ω C I
Remarque sur les intervalles ouverts et les rationnels ?
∀ intervalle ouvert de R, non vide, entre deux nombre rationnels il y a une infinité de nb irrationnels. Il y aussi une infinité de nb rationnels
Entre deux rationnels il y a au moins un irrationnel et entre deux réels, il existe un moins un nb rationnel
L’application A est dite majorée si …
Il existe M de grandR, pour tout x de A; M ≥ x
L’application A est dite minorée si …
Il existe m de grandR, pour tout x de A; m ≤ x
L’application A est dite bornée si …
A est minorée et majorée à la fois :
Il existe M de grandR, pour tout x de A; | x | ≤ M
Quand est ce qu’il existe
un minimum à A ?
Quand A est minorée par m et que m appartient également à A.
Le minimum de A est le plus petit élément de A
Quand est ce qu’il existe
un maximum à A ?
Quand A est majorée par M et que M appartient également à A.
Le maximum de A est le plus grand élément de A
Qu’est ce que la borne supérieure ?
Si A est non-vide et majorée, alors A admet une borne supérieure, notée sup(A).
sup(A) fait partie des majorants de A et c’est le + petit de tous :
sup(A) = min (M)
Quel est l’axiome de la borne sup ?
Toute partie non vide de R et majorée admet une borne supérieure.
1ère caractérisation de la borne sup ?
sup(A) est l’unique réel vérifiant :
- ∀x de A, x ≤ sup(A)
- ∀t de A, (t ≤ sup=(a)) implique qu’il existe un x dans A tel que :
t ≤ x ≤ sup(A)
2ème caractérisation de la borne sup ?
Soit A, non vide et majorée.
si il existe sup(A), alors pour tout ε > 0, il existe x de A tel que :
Sup(A) - ε < x < sup(A)
Qu’est ce que la borne inférieure de A ?
Si A est non vide et minorée, a admet une borne supérieure min(A) fait partie des minorant de A et c’est le + grand de tous :
inf(A) = max (m) avec m l’ensemble des minorant
Quel est l’axiome de la borne inférieure ?
Toute partie non vide de R et minorée admet une borne inférieure.
1ère Caractérisation de la borne inférieure
inf(A) est l’unique réel vérifiant :
- ∀x de A, inf(A) ≤ x
- ∀t de A, ( inf(A) ≤ t) implique qu’il existe un x dans A tel que :
Inf(a) ≤ x ≤ t
2e caractérisation de la borne inf :
Si il existe inf(A),
∀ ε > 0, il existe au moins un x de A tel que :
inf(A) ≤ x ≤ inf(A) + ε
Qu’est ce que la partie entière d’un entier ?
On appelle partie entière de x l’unique entier n de Z tel que :
n ≤ x ≤ n+1
On la note E(X) :
on a : E(x) ≤ x ≤ E(x+1)
