chap. 5 : dérivation Flashcards
Quand est-ce qu’une fonction est dérivable ?
quand
lim (h->0) de f(a+h) - f(a))/ (h) = d
d ∈ ℝ, d étant le nombre dérivé
Quel changement de variable peut-on effectuer quand on regarde si une fonction est dérivable ?
x = a+h
quelle modification à la définition d’une fonction dérivable quand on fait le changement de variable ?
lim (x->a) =f(x) - f(a))/ (x-a) = d
f(x) est dite dérivable sur tout Ω si …
si f est dérivable en tout point de Ω
interprétation graphique du nombre dérivé ?
il s’agit de la pente de la droite, du coeff directeur ou du taux d’accroissement de la fonction ou le taux de variation de f(x)
fonction =dérivable en a : conséquence graphique ?
la courbe admet une tangente Ta au point d’abscisse a de pente f’(a)
Equation de la tangente :
y = f’(a)(x-a) + f(a)
que peut-on dire de la tangente ?
c’est la meilleure approximation affine en a de la courbe
Si la dérivée vaut zéro …
la tangente est horizontale
si la fonction n’est pas dérivable …
la tangente est verticale
f dérivable implique …
f continue
f est dérivable en a à droite si :
a n’est pas le plus grand élément de l’intervalle et la lim en a à droite = f’d (a)
f est dérivable en a à gauche si :
a n’est pas le plus petit élément de l’intervalle et la lim en a à gauche = f’g (a)
Si f est dérivable en a, qu’est ce que cela signifie ?
f’d(a) = f’g(a)
opérations dérivables :
- somme
- produit par un scalaire
- produit
- quotient par 1
- quotient
dérivée d’ordre supérieur :
notée f^(n)
formule de la dérivée n-ième :
f^(n) = dérivée de (f^(n-1))
convention : f^(0) =
fx
sin^n(x) =
sin (x + nπ/2)
cos^(n) (x) =
cos ( x + nπ/2)
Classe d’une fonction :
f est de classe C^n sur l’intervalle si :
- f est dérivable n fois sur l’intervalle
- f^n est continue sur l’intervalle
classe infinie :
f est indéfiniment dérivable sur l’intervalle.
Qu’est-ce que le minimum global en a ?
f admet un minimum global en a si ∀x ∈Ω,
f(x) ≥ f(a)
Qu’est ce que le maximum global en a ?
x est le maximum global en a de f si ∀x ∈Ω,
f(x) ⩽ f(a)
Qu’est-ce que le minimum local en a ?
f admet un min local en a si ∃ η >0, ∀x ∈ V(a) ∩ Ω, f(x) ≥ f(a)
Qu’est ce que le maximum local en a ?
x est le max local en a si ∃ η >0, ∀x ∈ V(a) ∩ Ω, f(x) ⩽ f(a)
Quand est-ce qu’une fonction admet un extremum ?
Quand elle admet un maximum ou un minimum
Quand est-ce qu’une fonction admet un extremum strict ?
Si les inégalités qui interviennent dans les déf sont strictes.
Implication d’un extremum global en a ?
il y a un extremum local en a (attention la réciproque est fausse)
Caractérisation des extremums ?
Ω est un int ouvert
si f est dérivable en a et a = extremum local
alors f’(a) =0
remarques sur la caractérisation des extremums:
- f’ (a) = 0 ne signifie pas que a est un extremum de f(x)
- la condition de l’intervalle ouvert est nécessaire.
théorème de Rolle :
Soit f : [a,b] -> ℝ :
- f est continue sur [a,b]
- f est dérivable sur ]a,b[
- f(a) = f(b)
ALORS : ∃ c ∈ ]a,b[ tq : f’(c) = 0
interprétation du théorème de Rolle :
- si f(a) = f(b) alors AB // Ox
- il existe au moins un point d’abscisse c où la tangente Tc//AB//Ox
- f’(c) = 0
énoncé du T.A.F. :
soit f définie sur [a,b] -> R
- f est continue sur [a,b]
- f est dérivable sur ]a,b[
Alors :
∃C ∈ ]a,b[, f(b) - f(a) = f’(c)(b-a)
inégalité des accroissements finis :
f : [a,b] -> R
continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, si f’ est bornée, ∃M ⩾ 0,
tel que ∀x ∈ ]a,b[, | f(x)’ | ⩽ M
Alors : | f(b) - f(a) | ⩽ M (b-a)
Caractérisation des fonctions k-lipschitziennes :
Ω, un intervalle, Ωo privé de ses bornes. f est dérivable.
( f est k-lipschitzienne sur Ω)
=
(∀x ∈ Ωo, |f’ (x) | ⩽ k
Monotonie et signe de la dérivée :
f dérivable sur Ωo, continue sur Ω
∀x ∈ Ωo, f’(x) = 0
=
f est constante sur Ω
signe de la dérivée : +
∀x ∈ Ωo, f’(x) ⩾ 0
f est croissante sur Ω
signe de la dérivée : -
∀x ∈ Ωo, f’(x) ⩽ 0
f est décroissante sur Ω
signe de la dérivée : + strict :
∀x ∈ Ωo, f’(x) > 0
f est strictement croissante sur Ω
signe de la dérivée : - strict
∀x ∈ Ωo, f’(x) < 0
f est strictement décroissante sur Ω
1° =
π/180
théorème de la dérivée d’une fonction réciproque :
Ω, intervalle ouvert de R
soit f strictement monotone (injective) + dérivable (surjective)
si f’(x) ≠ 0 ∀x ∈ Ω
Alors :
- f-1(x) est dérivable sur f(Ω)
- ∀ y ∈ f(Ω),,
(f-1)’ = 1 / (f’ ° f-1)
interprétation graphique des courbes de f-1 et f ?
leurs deux courbes sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x
