chap. 5 : dérivation Flashcards

1
Q

Quand est-ce qu’une fonction est dérivable ?

A

quand
lim (h->0) de f(a+h) - f(a))/ (h) = d
d ∈ ℝ, d étant le nombre dérivé

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2
Q

Quel changement de variable peut-on effectuer quand on regarde si une fonction est dérivable ?

A

x = a+h

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3
Q

quelle modification à la définition d’une fonction dérivable quand on fait le changement de variable ?

A

lim (x->a) =f(x) - f(a))/ (x-a) = d

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4
Q

f(x) est dite dérivable sur tout Ω si …

A

si f est dérivable en tout point de Ω

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5
Q

interprétation graphique du nombre dérivé ?

A

il s’agit de la pente de la droite, du coeff directeur ou du taux d’accroissement de la fonction ou le taux de variation de f(x)

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6
Q

fonction =dérivable en a : conséquence graphique ?

A

la courbe admet une tangente Ta au point d’abscisse a de pente f’(a)

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7
Q

Equation de la tangente :

A

y = f’(a)(x-a) + f(a)

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8
Q

que peut-on dire de la tangente ?

A

c’est la meilleure approximation affine en a de la courbe

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9
Q

Si la dérivée vaut zéro …

A

la tangente est horizontale

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10
Q

si la fonction n’est pas dérivable …

A

la tangente est verticale

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11
Q

f dérivable implique …

A

f continue

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12
Q

f est dérivable en a à droite si :

A

a n’est pas le plus grand élément de l’intervalle et la lim en a à droite = f’d (a)

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13
Q

f est dérivable en a à gauche si :

A

a n’est pas le plus petit élément de l’intervalle et la lim en a à gauche = f’g (a)

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14
Q

Si f est dérivable en a, qu’est ce que cela signifie ?

A

f’d(a) = f’g(a)

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15
Q

opérations dérivables :

A
  • somme
  • produit par un scalaire
  • produit
  • quotient par 1
  • quotient
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16
Q

dérivée d’ordre supérieur :

A

notée f^(n)

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17
Q

formule de la dérivée n-ième :

A

f^(n) = dérivée de (f^(n-1))

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18
Q

convention : f^(0) =

19
Q

sin^n(x) =

A

sin (x + nπ/2)

20
Q

cos^(n) (x) =

A

cos ( x + nπ/2)

21
Q

Classe d’une fonction :

A

f est de classe C^n sur l’intervalle si :
- f est dérivable n fois sur l’intervalle
- f^n est continue sur l’intervalle

22
Q

classe infinie :

A

f est indéfiniment dérivable sur l’intervalle.

23
Q

Qu’est-ce que le minimum global en a ?

A

f admet un minimum global en a si ∀x ∈Ω,
f(x) ≥ f(a)

24
Q

Qu’est ce que le maximum global en a ?

A

x est le maximum global en a de f si ∀x ∈Ω,
f(x) ⩽ f(a)

25
Qu'est-ce que le minimum local en a ?
f admet un min local en a si ∃ η >0, ∀x ∈ V(a) ∩ Ω, f(x) ≥ f(a)
26
Qu'est ce que le maximum local en a ?
x est le max local en a si ∃ η >0, ∀x ∈ V(a) ∩ Ω, f(x) ⩽ f(a)
27
Quand est-ce qu'une fonction admet un extremum ?
Quand elle admet un maximum ou un minimum
28
Quand est-ce qu'une fonction admet un extremum strict ?
Si les inégalités qui interviennent dans les déf sont strictes.
29
Implication d'un extremum global en a ?
il y a un extremum local en a (attention la réciproque est fausse)
30
Caractérisation des extremums ?
Ω est un int ouvert si f est dérivable en a et a = extremum local alors f'(a) =0
31
remarques sur la caractérisation des extremums:
- f' (a) = 0 ne signifie pas que a est un extremum de f(x) - la condition de l'intervalle ouvert est nécessaire.
32
théorème de Rolle :
Soit f : [a,b] -> ℝ : - f est continue sur [a,b] - f est dérivable sur ]a,b[ - f(a) = f(b) ALORS : ∃ c ∈ ]a,b[ tq : f'(c) = 0
33
interprétation du théorème de Rolle :
- si f(a) = f(b) alors AB // Ox - il existe au moins un point d'abscisse c où la tangente Tc//AB//Ox - f'(c) = 0
34
énoncé du T.A.F. :
soit f définie sur [a,b] -> R - f est continue sur [a,b] - f est dérivable sur ]a,b[ Alors : ∃C ∈ ]a,b[, f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)
35
inégalité des accroissements finis :
f : [a,b] -> R continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, si f' est bornée, ∃M ⩾ 0, tel que ∀x ∈ ]a,b[, | f(x)' | ⩽ M Alors : | f(b) - f(a) | ⩽ M (b-a)
36
Caractérisation des fonctions k-lipschitziennes :
Ω, un intervalle, Ωo privé de ses bornes. f est dérivable. ( f est k-lipschitzienne sur Ω) = (∀x ∈ Ωo, |f' (x) | ⩽ k
37
Monotonie et signe de la dérivée :
f dérivable sur Ωo, continue sur Ω ∀x ∈ Ωo, f'(x) = 0 = f est constante sur Ω
38
signe de la dérivée : +
∀x ∈ Ωo, f'(x) ⩾ 0 = f est croissante sur Ω
39
signe de la dérivée : -
∀x ∈ Ωo, f'(x) ⩽ 0 = f est décroissante sur Ω
40
signe de la dérivée : + strict :
∀x ∈ Ωo, f'(x) > 0 = f est strictement croissante sur Ω
41
signe de la dérivée : - strict
∀x ∈ Ωo, f'(x) < 0 = f est strictement décroissante sur Ω
42
1° =
π/180
43
théorème de la dérivée d'une fonction réciproque :
Ω, intervalle ouvert de R soit f strictement monotone (injective) + dérivable (surjective) si f'(x) ≠ 0 ∀x ∈ Ω Alors : - f-1(x) est dérivable sur f(Ω) - ∀ y ∈ f(Ω),, (f-1)' = 1 / (f' ° f-1)
44
interprétation graphique des courbes de f-1 et f ?
leurs deux courbes sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x