chap. 6 : formules de Taylor et D-L Flashcards

1
Q

fonction infiniment petite :

A

f, définie au V(a), est un infiniment petit au V(a) si lim de f(x) quand x tend vers a = 0

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2
Q

fonction infiniment grande :

A

f définit sur ]ω, +∞] ou ]-∞, ω] est un infiniment grand au V(∞) si la lim en a de |f(x)| = +∞

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3
Q

si f est infiniment grand au V(a) : conséquence sur le quotient par 1 ?

A

1/f(x) est un infiniment petit au V(a)

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4
Q

fonctions équivalentes :

A

deux fonctions f et g sont équivalentes au V(a) si g est non nulle au v(a) + lim en a de f / g = 1
(ce qui n’implique pas forcément f=g)

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5
Q

approcher une fonction polynôme par une autre fonction polynôme :

A

l’appro est exacte : pas d’erreur.

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6
Q

Conditions du développement de T-L :

A

f : I –> R, I ouvert de R
a ∈ I, a+h ∈ I
si f est n+1 fois dérivable sur I, alors :
∃ θ(h) ∈ ]0,1[.

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7
Q

remarque sur la formule de T-L :

A

elle est globale : on va pouvoir approcher la fonction par le polynôme (partie régulière)

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8
Q

conditions de M-L :

A

f : I –> R,
(n+1) fois dérivable
Si 0 ∈ I, on peut appliquer M-L en 0, à l’ordre n, ∀x ∈ I

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9
Q

conditions de Taylor-Young :

A

f : I –> R, avec I un intervalle ouvert de R
f est de classe Cn(I)
a ∈ I, a+h ∈ I, h «1
Alors ∃ ε(h) qui tend vers 0 en 0, appelée reste de Young.

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10
Q

remarque sur Taylor-Young :

A

formule valable localement : on ne sait pas ce qui se produit quand h»1

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11
Q

propriétés sur o(x^n) : λo(x^n)

A

= o(x^n) car de toute façon négligeable.

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12
Q

propriétés sur o(x^n) : o(x^n) * o(x^n)

A

= o(x^n)

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13
Q

propriétés sur o(x^n) : o(x^n) + o(x^m)
si n⩽m :

A

= o(x^n)
on prend le plus petit car l’autre est encore plus négligeable.

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14
Q

propriétés sur o(x^n) : o(1) :

A

= 0

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15
Q

propriétés sur o(x^n) : o(x^n) / x^n :

A

= o(1) =0

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16
Q

propriétés sur o(x^n) : -o(x^n)

17
Q

fonctions négligeables :

A

f et g définies au V(a). f(x) est négligeable devant g(x) au v(a) si :
∃ ε(x) –> 0 en a
f(x) = ε(x) * g(x)
⇔ lim x–>a de f(x) / g(x)= 0

18
Q

développement limité d’un quotient, quelle technique utiliser ?

A

celle de la division par puissances croissantes

19
Q

méthode de la division par puissances croissantes, quésaco ?

A

A et B deux polynômes.
A=BQ+R*x^(k+1°°
BUT : deg(Q) ⩽ k ou deg(Q) = 0
CONDITION : il faut avoir une constante au dénominateur
- on place les termes par ordre croissant
- on étudie les degrés pour savoir jusqu’où aller.

20
Q

théorème : DL d’un quotient :

A

f et g admettant des DLs au V(x0) à l’ordre n, avec g(x0) ≠ 0
ALORS : f/g admet un DL à l’ordre n au V(x0)
partie régulière = puissante croissante de f(x)de la partie régulière à l’ordre n / celle de g(x)

21
Q

théorème : composition de DL :

A

f et g deux fonctions telles que y0 = f(x0)
- f admet un DLn(x0)
- // g
ALORS : g°f admet un DLn(x0)

22
Q

méthode pour calculer les compo de DL ?

A

on passe par un changement de variable en posant X = un POLYNOME qui DOIT TENDRE VERS ZÉRO

23
Q

théorème : intégration de DL

A

f continue au V(a), admettant DLn(a)
ALORS : toute primitive F de f admet un DL(a) à L’ORDRE n+1

24
Q

comment utilise-t-on les intégrales pour calculer des DL ?

A
  • on a une fonction dont on souhaite le DL
  • on dérive la fonction
  • on calcule le DL de f’(x)
  • on intègre ce DL
    –> on obtient le DL de f(x)
    = le DL de la primitive
25
utilité du développement asymptotique :
même idée que les DL càd d'approcher f au v(a) à l'échelle de l'∞ment petit, mais en transposant à d'autres échelles, afin d'étudier le comportement de la limite.
26
asymptote horizontale :
d'équation y =l lim en ±∞ f(x) = l
27
asymptote verticale :
d'équation x=a lim en a f(x) = ± ∞
28
étude de branche à l'∞ : que faire ?
= cas où lim en ∞ de f(x) = ∞ regarder le comportement de la limite en +∞ de f / x
29
étude de branche à l'∞ : cas où f/x = ∞
--> Cf admet au V(∞) une branche parabolique de direction l'axe de y. ex : e^x /x (croissances comparées)
30
étude de branche à l'∞ : cas où f/x = 0
Cf admet une branche parabolique de direction l'axe des x. ex : log(x)/x
31
étude de branche à l'∞ : cas où f/x = α ≠ 0:
deux cas possibles : on étudie la lim. en l'infini de f(x) - αx : - lim. en l'infini de f(x) - αx = ∞ : Cf admet une branche para de direction y = αx - lim. en l'infini de f(x) - αx = β: Cf admet une asymptote d'équation A : y= αx + β
32
étude locale d'une fonction : méthode :
1) vérifie que f(x) est définie là où elle admet le DL : f(x0) 2) On étudie sa dérivabilité : on obtient f'(x0) 3) Si dérivable, elle admet une T(x0) 4) écrire son équation 5) étude de la position de T(x0) en utilisant le terme suivant du DL si non nul. * signe > 0 : Cf au dessus de T * signe < 0 : Cf en dessous de T
33
étude locale d'une fonction : admet-elle un extremum ?
si c'est le cas, f'(x0)=0 on étudie le signe de f(x) - f(x0) = le signe de α2 si non nul. - α2 > 0 : f(x) > f(x0) au v(x0) alors x0 est un minimum local - α2 < 0 : f(x) < f(x0) au v(x0) alors x0 est un maximum local ⚠ : si α2 = 0 : et α3 non nul, Cf admet un point d'inflexion, pas d'extremum