chap. 6 : formules de Taylor et D-L Flashcards
fonction infiniment petite :
f, définie au V(a), est un infiniment petit au V(a) si lim de f(x) quand x tend vers a = 0
fonction infiniment grande :
f définit sur ]ω, +∞] ou ]-∞, ω] est un infiniment grand au V(∞) si la lim en a de |f(x)| = +∞
si f est infiniment grand au V(a) : conséquence sur le quotient par 1 ?
1/f(x) est un infiniment petit au V(a)
fonctions équivalentes :
deux fonctions f et g sont équivalentes au V(a) si g est non nulle au v(a) + lim en a de f / g = 1
(ce qui n’implique pas forcément f=g)
approcher une fonction polynôme par une autre fonction polynôme :
l’appro est exacte : pas d’erreur.
Conditions du développement de T-L :
f : I –> R, I ouvert de R
a ∈ I, a+h ∈ I
si f est n+1 fois dérivable sur I, alors :
∃ θ(h) ∈ ]0,1[.
remarque sur la formule de T-L :
elle est globale : on va pouvoir approcher la fonction par le polynôme (partie régulière)
conditions de M-L :
f : I –> R,
(n+1) fois dérivable
Si 0 ∈ I, on peut appliquer M-L en 0, à l’ordre n, ∀x ∈ I
conditions de Taylor-Young :
f : I –> R, avec I un intervalle ouvert de R
f est de classe Cn(I)
a ∈ I, a+h ∈ I, h «1
Alors ∃ ε(h) qui tend vers 0 en 0, appelée reste de Young.
remarque sur Taylor-Young :
formule valable localement : on ne sait pas ce qui se produit quand h»1
propriétés sur o(x^n) : λo(x^n)
= o(x^n) car de toute façon négligeable.
propriétés sur o(x^n) : o(x^n) * o(x^n)
= o(x^n)
propriétés sur o(x^n) : o(x^n) + o(x^m)
si n⩽m :
= o(x^n)
on prend le plus petit car l’autre est encore plus négligeable.
propriétés sur o(x^n) : o(1) :
= 0
propriétés sur o(x^n) : o(x^n) / x^n :
= o(1) =0
propriétés sur o(x^n) : -o(x^n)
= o(x^n)
fonctions négligeables :
f et g définies au V(a). f(x) est négligeable devant g(x) au v(a) si :
∃ ε(x) –> 0 en a
f(x) = ε(x) * g(x)
⇔ lim x–>a de f(x) / g(x)= 0
développement limité d’un quotient, quelle technique utiliser ?
celle de la division par puissances croissantes
méthode de la division par puissances croissantes, quésaco ?
A et B deux polynômes.
A=BQ+R*x^(k+1°°
BUT : deg(Q) ⩽ k ou deg(Q) = 0
CONDITION : il faut avoir une constante au dénominateur
- on place les termes par ordre croissant
- on étudie les degrés pour savoir jusqu’où aller.
théorème : DL d’un quotient :
f et g admettant des DLs au V(x0) à l’ordre n, avec g(x0) ≠ 0
ALORS : f/g admet un DL à l’ordre n au V(x0)
partie régulière = puissante croissante de f(x)de la partie régulière à l’ordre n / celle de g(x)
théorème : composition de DL :
f et g deux fonctions telles que y0 = f(x0)
- f admet un DLn(x0)
- // g
ALORS : g°f admet un DLn(x0)
méthode pour calculer les compo de DL ?
on passe par un changement de variable en posant X = un POLYNOME qui DOIT TENDRE VERS ZÉRO
théorème : intégration de DL
f continue au V(a), admettant DLn(a)
ALORS : toute primitive F de f admet un DL(a) à L’ORDRE n+1
comment utilise-t-on les intégrales pour calculer des DL ?
- on a une fonction dont on souhaite le DL
- on dérive la fonction
- on calcule le DL de f’(x)
- on intègre ce DL
–> on obtient le DL de f(x)
= le DL de la primitive
utilité du développement asymptotique :
même idée que les DL càd d’approcher f au v(a) à l’échelle de l’∞ment petit, mais en transposant à d’autres échelles, afin d’étudier le comportement de la limite.
asymptote horizontale :
d’équation y =l
lim en ±∞ f(x) = l
asymptote verticale :
d’équation x=a
lim en a f(x) = ± ∞
étude de branche à l’∞ : que faire ?
= cas où lim en ∞ de f(x) = ∞
regarder le comportement de la limite en +∞ de f / x
étude de branche à l’∞ : cas où f/x = ∞
–> Cf admet au V(∞) une branche parabolique de direction l’axe de y.
ex : e^x /x (croissances comparées)
étude de branche à l’∞ : cas où f/x = 0
Cf admet une branche parabolique de direction l’axe des x.
ex : log(x)/x
étude de branche à l’∞ : cas où f/x = α ≠ 0:
deux cas possibles : on étudie la lim. en l’infini de f(x) - αx :
- lim. en l’infini de f(x) - αx = ∞ :
Cf admet une branche para de direction
y = αx
- lim. en l’infini de f(x) - αx = β:
Cf admet une asymptote d’équation A :
y= αx + β
étude locale d’une fonction : méthode :
1) vérifie que f(x) est définie là où elle admet le DL : f(x0)
2) On étudie sa dérivabilité : on obtient f’(x0)
3) Si dérivable, elle admet une T(x0)
4) écrire son équation
5) étude de la position de T(x0) en utilisant le terme suivant du DL si non nul.
* signe > 0 : Cf au dessus de T
* signe < 0 : Cf en dessous de T
étude locale d’une fonction : admet-elle un extremum ?
si c’est le cas, f’(x0)=0
on étudie le signe de f(x) - f(x0) = le signe de α2 si non nul.
- α2 > 0 : f(x) > f(x0) au v(x0) alors x0 est un minimum local
- α2 < 0 : f(x) < f(x0) au v(x0) alors x0 est un maximum local
⚠ : si α2 = 0 : et α3 non nul, Cf admet un point d’inflexion, pas d’extremum
