chap.3 : les suites Flashcards
Qu’est ce qu’une suite réelle ?
c’est une application de N dans R
Qu’est ce que le terme général de la suite ?
Un
Formule d’une suite arithméticogéométrique ?
Un+1 = aUn + b
avec a et b dans R
Formule d’une suite arithmétique ?
Un+1 = Un + b
(a =1)
Formule d’une suite géométrique ?
Un+1 = aUn
Suite monotone :
Un est croissante et pour tout n de N, on a Un ≤ Un+1
OU
Un est décroissante et pour tout n de N, on a Un ≥ Un+1
Suite strictement monotones :
Un est strictement croissante : Pour tout n, Un < Un+1
OU
Un est strictement décroissante : Pour tout n, Un > Un+1
Suite constante
Il existe c appartenant à Z tel que pour tout n : Un = c
Suite stationnaire :
(Un) est constante à partir d’un certain rang : il existe N, pour tout n, (n > N), Un = c
Suite majorée :
Il existe M dans R, pour tout n dans N, Un ⩽ M
Si la suite est majorée, qu’en est-il de son application ?
A = { Un, n de N} est alors non vide majorée
Suite minorée :
Il existe m dans R, pour tout n de N, Un ≥ m
Si la suite est minorée, qu’en est-il de son application ?
A = { Un, n de N} est alors non vide minorée
Suite bornée :
suite bornée si majorée et minorée à la fois.
∃ M ≥ 0, ∀ n de N, | Un | ⩽ M
Si Un a pour limite un réel l, alors …
∀ ε > 0, ∃ N ∈ ℕ, ∀n ∈ ℕ, (n>N) implique : |Un - l| ⩽ ε
Que signifie graphiquement la notion de limite vers un réel ?
Quelque soit l’epsilon, au bout d’un certain rang le nuage de point de la suite sera compris entre l + ε et l - ε.
Et plus on resserrera l’écart (= + ε sera pris petit), plus on se rapprochera de la limite.
Si Un est convergente vers l, alors qu’en est-il de sa limite ?
Elle est unique.
démo par l’absurde, on suppose qu’il en existe deux.
On calcule |l1 - l2|, on ajoute-enlève Un, puis inégalité triangulaire. On n’oublie pas de prendre N = max(N1, N2) !
absurdité : |l1 - l2| > |l1 - l2|
Si un n’est pas convergente, elle est …
divergente (ce qui ne veut pas forcément dire qu’elle tend vers +/-∞)
ex : Un = (-1)^n : oscille entre -1 et 1. divergente
Caractérisation de la limite vers +∞ :
Si Un tend vers +∞, alors :
∀A ∈ ℝ, ∃N ∈ ℕ, (n > N), implique : (Un > A)
= pour tout nb réel, à partir d’un certain rang la suite sera supérieure à ce nb.
Caractérisation de la limite vers -∞ :
Si Un tend vers -∞, alors :
∀A ∈ ℝ, ∃N ∈ ℕ, (n > N), implique : (Un < -A)
= pour tout nb réel, à partir d’un certain rang la suite sera inférieure à ce nb.
Toute qui suite qui tend vers +∞ est …
minorée :
On trouve un rang N à partir duquel tous les termes sont supérieurs à par ex A=1. Puis, pour les n < N, on dit qu’il s’agit d’un ensemble fini, qui est donc minoré par son minimum.
m = min(U0, U1, …, UN-1)
On a bien Un minorée soit par 1 soit par m, selon le rang qu’on étudie
Toute suite qui tend vers -∞ est …
majorée:
On trouve un rang N à partir duquel tous les termes sont inférieurs à par ex A=1.
= (n > N) Un < -1
Puis, pour les n < N, on dit qu’il s’agit d’un ensemble fini, qui est donc majoré par son maximum.
m = max(U0, U1, …, UN-1)
On a bien Un majorée soit par -1 soit par m, selon le rang qu’on étudie
Toute suite convergente est …
bornée (voir démo)
Propriétés d’ordre : 1° : passage à la limite :
On suppose : à partir d’un certain rang, (Un > a) ou (Un ≥ a)
Si Un tend vers l, alors l ≥ a
Propriétés d’ordre : 2° comparaison et lim :
Un tend vers l :
- Si (a<l) : existe un rang à partir duquel : Un > a
- Si (l<b) : existe un rang à partir duquel : Un < b
- Si (a<l<b) : existe un rang à partir duquel : a < Un < b
Théorème d’encadrement des gendarmes :
Si à partir d’un certain terme, on a : Un ≤ Vn ≤ Wn,
alors :
si Un et Wn tendent vers l, Vn aussi
corollaire du théorème des gendarmes :
Supposons :
∃ n ∈ ℕ, (n > N), | Un - l | ≤ Vn.
Si : Vn tend vers zéro, alors Un tend vers l
démo : on enlève la valeur absolue = -Vn < Un - l < Vn
On fait passer les l de l’autre côté et comme on a Vn tend vers zéro on retrouve Un encadré par l
Théorème n°1 des suites monotones :
1) Toute suite croissante et majorée est convergente.
2) Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Théorème n°2 des suites monotones :
1) Toute suite croissante non-majorée diverge vers +∞
2) Toute suite décroissante non-minorée diverge vers -∞
suites adjacentes :
- monotonies différentes
- lim (Un-Vn) = 0
Théorème des suites adjacentes :
Si deux suites sont adjacentes alors elles sont convergentes et convergent vers la même limite.
Lemme du théorème des suites adjacentes :
si Un est décroissante + sa limite est égale à zéro alors tous les termes de Un sont positifs
suite récurrente :
définie par récurrence en partant de U0, les autres éléments sont définies par une relation de récurrence dépendants d’un ou plusieurs éléments précédents
Théorème du point fixe :
si Un converge vers l + f(x) est continue
alors : f(l) = l
attention la réciproque est fausse
Fonction k-lipschitzienne :
vérifie, k>0 :
∀x ∈ ℝ, ∀y ∈ ℝ, | f(x) - f(y) | ⩽ k|x-y|
Cas particulier de la fonction k-lipschitzienne :
si k ∈ ] 0,1[ : f est dite contractante
Théorème des suites k-lipschitziennes :
soit Un une suite récurrente avec Uo donnée et Un+1 = f(Un), avec f contractante.
si ∃ l ∈ ℝ, tel que f(l) = l
ALORS la suite converge vers l
Série de terme général Un :
= la suite (Sn)n de sommes partielles (Un).
C’est une somme finie de (n+1) termes
Série de Riemann :
Un = 1/k^s :
- convergente si s>1
- divergente si s ⩽ 1
- s=1 : on retrouve la série harmonique de Un = 1/k
Condition nécessaire d’une série :
(Sn) est convergente alors Un tend vers 0
Condition suffisante : convergence absolue
Sn est convergente absolue si Un est convergente
