chap. 7 : intégrales simples et applications Flashcards
subdivision d’in intervalle [a,b]
Ensemble fini de points (xi),i appartenant à R :
x0=a < x1 < … < xn=b
on prend uniquement des points dont le premier est forcément la borne inférieure de I et le dernier la borne supérieure de I
qu’est-ce qu’une fonction étagée ?
f’x) est étagée s’il existe une subdivision x0, x1, …, xn telle que pour tout i=1, 2, …, n : f est constante sur l’intervalle [ xi, xi+1]
Il existe n nombres réels, m1, m2, …, mn tels que : ∀ x ∈ (xi, xi+1], f(x) = mi, 0⩽i⩽n
une telle subdivision est dite adaptée à f(x)
intégrale d’une fonction étagée :
somme allant de i=1 à n des (xi+1 - xi) x f(x)
comme sur chacun de ces intervalles, la fonction est constante égale à mi : on peut le remplacer dans l’expression.
rq : le résultat de l’intégrale ne dépend pas de la subdivision adaptée choisie
propriétés sur les intégrales de fonctions étagées : somme : f et g sont étagées
- f+g est étagée
- l’intégrale de la somme = somme des intégrales
propriétés sur les intégrales de fonctions étagées : f est étagée, produit par un scalaire
- scalaire x f est étagée,
- on peut sortir le scalaire de l’intégrale
propriétés sur les intégrales de fonctions étagées : inégalités :
les inégalités sont conservées par l’intégrale
propriétés sur les intégrales de fonctions étagées : f=0 sauf en un nb fini de points
l’intégrale est égale à zéro
propriétés sur les intégrales de fonctions étagées : f=g sauf en un nb fini de points
l’intégrale de a est égale à l’intégrale de b
fonction intégrable :
une fonction est intégrable si :
- ∀ε >0, il existe u(x) et U(x) deux fonctions étagées telles que :
u(x) ⩽ f(x) ⩽ U(x), ∀x ∈ [a,b]
- et l’intégrale de U - u ⩽ ε
et on alors:
- A={α=l’intégrale de u(x)}
- B={β=l’intégrale de U(x)}
l’intégrale de f(x) = sup(A)=inf(B)
fonctions intégrables_relation de Chasles :
∀c ∈ [a,b] :
intégrale de a à b = in. de a à c + int. de c à b
corollaire de la relation de Chasles pour les fonctions intégrables ?
f allant de [a,b] dans R intégrable
∀x∈ [a,b] : m ⩽ f(x) ⩽ M
alors :
m ⩽ (1 / (b-a)) x int. de f(x)dx ⩽ M
Théorème : intégrabilité des continues :
soit f [a;b] –> R, continue.
Alors, f est intégrable sur [a,b]
théorème : Intégrabilité des fonctions continues par morceaux ;
f est dite continue par morceaux et dans ce cas f est intégrale sur [a,b]
fonction continue par morceaux ?
soit f [a;b] –> R, continue sauf en un nb fini de points où les limites à droite ET à gauche en chaque points existent et sont finies.
intégrales et positivité :
f[a,b] –> R
si f est intégrable alors | f(x) | est intégrable sur [a,b]
et on a :
|intégrale| = intégrale de la | |
théorème : intégrale égale à zéro :
f[a,b] –> continue et POSITIVE :
si l’intégrale de f(x) = 0, cela implique f=0 sur [a,b]
si l’intégrale est nulle, il s’agit de la fonction nulle
conventions d’écriture sur les intégrales :
- inversion des bornes : int de a à b = - int de b à a
- intégrale de a à a = 0
théorème fondamental de l’analyse :
f continue sur Ω, int de R.
a ∈ Ω alors la fonction F définie sur ∈ par :
F(x) = intégrale de f(x)
et : F’(x) = f(x)
est appelée la primitive de f qui s’annule en a : F(a) = int de f(x) de a à a
primitive quelconque de sin(x) : de x0 à x
-cos(x) + cste
primitive quelconque de cos(x)
sin(x) + cste
forme des primitives quelconques :
notées G(x) :
G(x)=F(x)+K
= intégrale de f(x) + K
Premier théorème de la moyenne :
a<b, deux réels, f continue de [a,b] –> R
Alors : ∃ c ∈ [a,b], tq :
int. de f(t)dt = f(c)(b-a)
interprétation du premier théorème de la moyenne :
il existe une valeur c /hauteur f(c), c ∈ [a,b], telle que le rectangle de hauteur f(c) et de largeur (b-a) – et donc d’aire f(c)(b-a) possède une aire égale à celle sous la courbe.
= c’est la formule !
2e théorème de la moyenne :
f et g deux fonctions continues : [a,b] –> R
et g de SIGNE CONSTANT sur l’intervalle.
Alors : c ∈ [a,b] tq :
l’int. de f(t) x g(t) = f(c) x int. de g(t)
2e théorème de la moyenne :
f et g deux fonctions continues : [a,b] –> R
et g de signe constant sur l’intervalle.
Alors : c ∈ [a,b] tq :
l’int. de f(t) x g(t) = f(c) x int. de g(t)
cas particulier du deuxième théorème de la moyenne :
si g=1 sur [a,b] :
on applique le premier théorème de la moyenne :
int de f(t) = f(c) x int de 1dt entre a et b
autrement dit : f(c)(b-a)
primitives usuelles : f(x) = cos(x)
F(x)=sinx + K
primitives usuelles : f(x) = sin(x
F(x) = -cos(x) + K
primitives usuelles : f(x) = e^x
F(x) = e^x + K
primitives usuelles : f(x) = 1/x
F(x) = ln ( |x| ) + K sur ]0, +∞[
primitives usuelles : f(x) = 1 / sqrt(x)
F(x) = 2sqrt(x) + K sur ]0, +∞[
primitives usuelles : f(x) = x^α, α≠-1
F(x) = ( 1 / (α+1) ) x^(α+1) + K
Le Df dépend de α
intégration par parties :
soit u et v de classe C1 sur [a,b] alors :
l’intégrale entre a et b de : u’(x).v(x)dx est égale à :
([u(x).v(x)]entre a et b ) - l’int. de u(x).v’(x)dx
cas particulier de l’intégration par parties :
les primitives quelconques :
‘intégrale entre a et b de : u’(x).v(x)dx est égale à :
u(x).v(x) - l’int. de u(x).v’(x)dx + K
changement de variable :
Soient I et J deux intervalles de R, a et b ∈ I.
Soit φ : I –> J, C1(I)
Soit f : J –> R, continue sur J
l’intégrale de : (f°φ)(x) * φ’(x)
est égale à :
int. entre φa et φb de f(u)du
= F(φ(b)) - F(φ (a))
