chap. 7 : intégrales simples et applications

Question 1

subdivision d’in intervalle [a,b]

Answer 1

Ensemble fini de points (xi),i appartenant à R :
x0=a < x1 < … < xn=b
on prend uniquement des points dont le premier est forcément la borne inférieure de I et le dernier la borne supérieure de I

Question 2

qu’est-ce qu’une fonction étagée ?

Answer 2

f’x) est étagée s’il existe une subdivision x0, x1, …, xn telle que pour tout i=1, 2, …, n : f est constante sur l’intervalle [ xi, xi+1]
Il existe n nombres réels, m1, m2, …, mn tels que : ∀ x ∈ (xi, xi+1], f(x) = mi, 0⩽i⩽n
une telle subdivision est dite adaptée à f(x)

Question 3

intégrale d’une fonction étagée :

Answer 3

somme allant de i=1 à n des (xi+1 - xi) x f(x)
comme sur chacun de ces intervalles, la fonction est constante égale à mi : on peut le remplacer dans l’expression.
rq : le résultat de l’intégrale ne dépend pas de la subdivision adaptée choisie

Question 4

propriétés sur les intégrales de fonctions étagées : somme : f et g sont étagées

Answer 4

• f+g est étagée
• l’intégrale de la somme = somme des intégrales

Question 5

propriétés sur les intégrales de fonctions étagées : f est étagée, produit par un scalaire

Answer 5

• scalaire x f est étagée,
• on peut sortir le scalaire de l’intégrale

Question 6

propriétés sur les intégrales de fonctions étagées : inégalités :

Answer 6

les inégalités sont conservées par l’intégrale

Question 7

propriétés sur les intégrales de fonctions étagées : f=0 sauf en un nb fini de points

Answer 7

l’intégrale est égale à zéro

Question 8

propriétés sur les intégrales de fonctions étagées : f=g sauf en un nb fini de points

Answer 8

l’intégrale de a est égale à l’intégrale de b

Question 9

fonction intégrable :

Answer 9

une fonction est intégrable si :
- ∀ε >0, il existe u(x) et U(x) deux fonctions étagées telles que :
u(x) ⩽ f(x) ⩽ U(x), ∀x ∈ [a,b]
- et l’intégrale de U - u ⩽ ε

et on alors:
- A={α=l’intégrale de u(x)}
- B={β=l’intégrale de U(x)}
l’intégrale de f(x) = sup(A)=inf(B)

Question 10

fonctions intégrables_relation de Chasles :

Answer 10

∀c ∈ [a,b] :
intégrale de a à b = in. de a à c + int. de c à b

Question 11

corollaire de la relation de Chasles pour les fonctions intégrables ?

Answer 11

f allant de [a,b] dans R intégrable
∀x∈ [a,b] : m ⩽ f(x) ⩽ M
alors :
m ⩽ (1 / (b-a)) x int. de f(x)dx ⩽ M

Question 12

Théorème : intégrabilité des continues :

Answer 12

soit f [a;b] –> R, continue.
Alors, f est intégrable sur [a,b]

Question 13

théorème : Intégrabilité des fonctions continues par morceaux ;

Answer 13

f est dite continue par morceaux et dans ce cas f est intégrale sur [a,b]

Question 13

fonction continue par morceaux ?

Answer 13

soit f [a;b] –> R, continue sauf en un nb fini de points où les limites à droite ET à gauche en chaque points existent et sont finies.

Question 13

intégrales et positivité :

Answer 13

f[a,b] –> R
si f est intégrable alors | f(x) | est intégrable sur [a,b]
et on a :
|intégrale| = intégrale de la | |

Question 14

théorème : intégrale égale à zéro :

Answer 14

f[a,b] –> continue et POSITIVE :
si l’intégrale de f(x) = 0, cela implique f=0 sur [a,b]
si l’intégrale est nulle, il s’agit de la fonction nulle

Question 15

conventions d’écriture sur les intégrales :

Answer 15

• inversion des bornes : int de a à b = - int de b à a
• intégrale de a à a = 0

Question 16

théorème fondamental de l’analyse :

Answer 16

f continue sur Ω, int de R.
a ∈ Ω alors la fonction F définie sur ∈ par :
F(x) = intégrale de f(x)
et : F’(x) = f(x)
est appelée la primitive de f qui s’annule en a : F(a) = int de f(x) de a à a

Question 17

primitive quelconque de sin(x) : de x0 à x

Answer 17

-cos(x) + cste

Question 18

primitive quelconque de cos(x)

Answer 18

sin(x) + cste

Question 19

forme des primitives quelconques :

Answer 19

notées G(x) :
G(x)=F(x)+K
= intégrale de f(x) + K

Question 20

Premier théorème de la moyenne :

Answer 20

a<b, deux réels, f continue de [a,b] –> R
Alors : ∃ c ∈ [a,b], tq :
int. de f(t)dt = f(c)(b-a)

Question 21

interprétation du premier théorème de la moyenne :

Answer 21

il existe une valeur c /hauteur f(c), c ∈ [a,b], telle que le rectangle de hauteur f(c) et de largeur (b-a) – et donc d’aire f(c)(b-a) possède une aire égale à celle sous la courbe.
= c’est la formule !

Question 22

2e théorème de la moyenne :

Answer 22

f et g deux fonctions continues : [a,b] –> R
et g de SIGNE CONSTANT sur l’intervalle.
Alors : c ∈ [a,b] tq :
l’int. de f(t) x g(t) = f(c) x int. de g(t)

Question 23

2e théorème de la moyenne :

Answer 23

f et g deux fonctions continues : [a,b] –> R
et g de signe constant sur l’intervalle.
Alors : c ∈ [a,b] tq :
l’int. de f(t) x g(t) = f(c) x int. de g(t)

Question 24

cas particulier du deuxième théorème de la moyenne :

Answer 24

si g=1 sur [a,b] :
on applique le premier théorème de la moyenne :
int de f(t) = f(c) x int de 1dt entre a et b
autrement dit : f(c)(b-a)

Question 25

primitives usuelles : f(x) = cos(x)

Answer 25

F(x)=sinx + K

Question 26

primitives usuelles : f(x) = sin(x

Answer 26

F(x) = -cos(x) + K

Question 27

primitives usuelles : f(x) = e^x

Answer 27

F(x) = e^x + K

Question 28

primitives usuelles : f(x) = 1/x

Answer 28

F(x) = ln ( |x| ) + K sur ]0, +∞[

Question 29

primitives usuelles : f(x) = 1 / sqrt(x)

Answer 29

F(x) = 2sqrt(x) + K sur ]0, +∞[

Question 30

primitives usuelles : f(x) = x^α, α≠-1

Answer 30

F(x) = ( 1 / (α+1) ) x^(α+1) + K
Le Df dépend de α

Question 31

intégration par parties :

Answer 31

soit u et v de classe C1 sur [a,b] alors :
l’intégrale entre a et b de : u’(x).v(x)dx est égale à :
([u(x).v(x)]entre a et b ) - l’int. de u(x).v’(x)dx

Question 32

cas particulier de l’intégration par parties :

Answer 32

les primitives quelconques :
‘intégrale entre a et b de : u’(x).v(x)dx est égale à :
u(x).v(x) - l’int. de u(x).v’(x)dx + K

Question 33

changement de variable :

Answer 33

Soient I et J deux intervalles de R, a et b ∈ I.
Soit φ : I –> J, C1(I)
Soit f : J –> R, continue sur J
l’intégrale de : (f°φ)(x) * φ’(x)
est égale à :
int. entre φa et φb de f(u)du
= F(φ(b)) - F(φ (a))