chap.1 : l'expression mathématique

Question 1

qu’est ce qu’une proposition ?

Answer 1

c’est un énoncé mathématique qui affirme une propriété

Question 2

qu’est ce que la logique ?

Answer 2

domaine mathématique permettant d’établir une valeur logique de vérité pour une proposition donnée : vrai ou faux.

Question 3

Qu’est ce qu’un raisonnement ?

Answer 3

permet de valider ou infirmer une proposition

Question 4

Qu’est ce qu’un axiome ?

Answer 4

Vérité première dont on admet la véracité

Question 5

Qu’est ce qu’un théorème ?

Answer 5

proposition dont on doit démontrer la véracité qui se déduit des axiomes.

Question 6

Quels sont les principes vérifiés par une proposition logique ?

Answer 6

1) Pr. de l’identité : P = P
2) Pr. de la non-contradiction : P est soit vraie, soit fausse.
3) Pr. du tiers-exclue : ne peut prendre d’autre valeur que V/F

Question 7

A l’aide de quels outils relie-t-on les propositions entre elles ?

Answer 7

A l’aide des connecteurs logiques.

Question 8

Négation d’une proposition.

Answer 8

nier une proposition c’est passer de la définition d’une partie d’un ensemble à son complémentaire.

Answer 9

P Non P
V

Question 10

Table de vérité de la négation

Answer 10

P Non P
V F
F V

Question 11

Conjonction de deux propositions : “et”

Answer 11

“et” porte sur deux prop.
P1 ∧ P2 est vrai ssi P1 et P2 sont simultanément vraies

Question 12

Table de vérité de la conjonction :

Answer 12

P1 P2 P1 ∧ P2
V V V
V F F
F V F
F F F

Question 13

La disjonction de deux propositions : “ou”

Answer 13

“ou” porte sur deux prop. ou +
P1 ∨ P2 est fausse si P1 et P2 sont simultanément fausses

Question 14

Table de vérité de la disjonction

Answer 14

P1 P2 P1 ∨ P2
V V V
V F V
F V V
F F F

Question 15

Implication entre deux propositions

Answer 15

Si P1 alors P2
P1 implique P2
P1 ⇒ P2 est fausse si P1 est vraie et P2 est fausse

Question 16

Table de vérité de l’implication

Answer 16

P1 P2 P1 ⇒ P2
V V V
F F V
V F F
F V V

Question 17

P1 ⇒ P2. Qu’est ce qu’une condition nécessaire ?

Answer 17

Il faut que P2 soit vraie pour que P1 soit vraie. P2 est donc une condition nécessaire à P1

Question 18

P1 ⇒ P2. Qu’est ce qu’une condition suffisante ?

Answer 18

Il suffit que P1 soit vraie pour que P2 soit vraie. P1 est une condition suffisante à P2

Question 19

Donner deux exemples de cond. nécessaires et suffisantes :

Answer 19

• P1 (ABC est un triangle équilatéral) ⇒ P2 (ABC est un triangle isocèle)
  –> P2 est nécessaire : ABC doit être iso pour être équi, et P1 est suffisante : pour qu’ABC soit iso, il suffit qu’il soit équi
• théorème de Pythagore :
  (ABC triangle rectangle) ⇒ (AB² = AC² + CB²)
  –> P2 est nécessaire à P1 : doit valider cette condition pour être rectangle. P1 est suffisant à P2 : il suffit d’être rectangle pour la valider.

Question 20

L’équivalence entre deux propositions

Answer 20

P1 ⇔ P2 vraie si P1 et P2 possèdent simultanément la même valeur logique de vérité

Question 21

La table de vérité de l’équivalence

Answer 21

P1 P2 P1⇔P2
V V V
F F V
V F F
F V F

Question 22

¬(¬P) = …

Answer 22

P

Question 23

commutativité : (P ∨ Q) = …
(P ∧ Q ) =…

Answer 23

(Q ∨ P)
(Q ∧ P)

Question 24

associativité :
(P ∨ Q) ∨ R = …
(P ∧ Q) ∧ R = …

Answer 24

P ∨ (Q ∨ R)
P ∧ ( Q ∧ R)

Question 25

Si Q est fausse, alors P est équivalent à (P ou Q). Pourquoi ?

Answer 25

P est vraie implique (P ou Q) vraie.
Réciproquement, si (P ou Q) est vraie, cela veut dire que P est vraie puisque Q est fausse.
Ex : (n est pair) est équivalent à ( (n est impair) ou (10 est impair) )

Question 26

Si P est toujours fausse alors : P ⇒ Q = …

Answer 26

P

Question 27

¬ (P ∨ Q) =

Answer 27

(¬P) ∧ (¬Q)

Question 28

¬ (P ∧ Q)

Answer 28

(¬P) ∨ (¬Q)

Question 29

quelle est la contraposée de : P ⇒ Q ?

Answer 29

¬Q ⇒ ¬P

Question 30

Qu’est ce que les quantificateurs ?

Answer 30

permettent de préciser le domaine de validité d’une proposition donnée

Question 31

Comment nier :
(∀x appartenant à E, P(x)) ?

Answer 31

(∃x appartenant à E, non P(x))

Question 32

Comment nier :
(∃x appartenant à E, P(x))

Answer 32

(∀x appartenant à E, non P(x))

Question 33

Comment nier :
(∃! x appartenant à E, P(x))

Answer 33

D’abord nier l’existence :
(∀x appartenant à E, non P(x))
Puis l’unicité :
(∃x,y appartenant à E, avec x distinct de y, P(x) et P(y))

Question 34

Raisonnement direct :

Answer 34

partir d’une affirmation et par une suite d’étapes parvenir à l’affirmation de fin que l’on souhaite

Question 35

Raisonnement de la contraposée :

Answer 35

P implique Q
devient :
Non Q implique non P,
ce qui est parfois + facile à démontrer.

Question 36

Raisonnement par disjonction des cas

Answer 36

traiter tous les cas possibles

Question 37

Qu’est ce que le complémentaire d’un ensemble ?

Answer 37

Soit A inclus dans E.
On appelle complémentaire de A dans E le sous ensemble formé de tous les x n’appartenant pas à A.

Question 38

Raisonnement par l’absurde

Answer 38

beaucoup utilisé pour démontrer l’unicité

Question 39

Qu’est ce qu’un ensemble vide ?

Answer 39

un ensemble qui ne contient aucun élément.
L’ensemble vide appartient à tous les ensembles.

Question 40

Comment montrer une égalité entre deux ensembles ?

Answer 40

on utilise la double inclusion :
E ⊆ F
F ⊆ E
on en déduit : F = E

Question 41

Intersection de deux ensembles :

Answer 41

A ∩ B : formé des x appartenant simultanément à A et à B.
(∀x appartenant à A ∩ B) ⇒ (x appartient à A) ET (x appartient à B)

Question 42

Union de deux ensembles :

Answer 42

A U B : formé de x des deux ensembles.
∀x appartenant à A U B) ⇒ (x appartient à A) OU (x appartient à B)

Question 43

Qu’est ce que le cardinal de E ?

Answer 43

nb d’éléments de l’ensemble

Question 44

Qu’appelle-t-on P(E) ?

Answer 44

l’ensemble formé par toutes les parties possibles de E.

Question 45

Qu’est-ce qu’une relation ?

Answer 45

Notée R, avec R inclus dans E x E, on dit que x et y sont liés par R si (x,y) appartient à R. On l’écrit : xRy

Question 46

Qu’est ce qu’une relation d’équivalence ?

Answer 46

relation vérifiant les props. suivantes :
1) Réflexive : (x,x) appartient à R.
2) Symétrique : (x,y) E à R implique (y,x) E à R
3) Transitive : ((x,y) E à R et (y,z) E à R) implique : (x,z) E à R

Question 47

A inclus dans B équivalent à

Answer 47

C(B) inclus dans C(A)

Question 48

C(C(A)) =

Answer 48

A

Question 49

C ( A ∩ B) =

Answer 49

C(A) U C(B)

Question 50

C ( A union B) =

Answer 50

C(A) ∩ C(B)