chap.1 : l'expression mathématique Flashcards
qu’est ce qu’une proposition ?
c’est un énoncé mathématique qui affirme une propriété
qu’est ce que la logique ?
domaine mathématique permettant d’établir une valeur logique de vérité pour une proposition donnée : vrai ou faux.
Qu’est ce qu’un raisonnement ?
permet de valider ou infirmer une proposition
Qu’est ce qu’un axiome ?
Vérité première dont on admet la véracité
Qu’est ce qu’un théorème ?
proposition dont on doit démontrer la véracité qui se déduit des axiomes.
Quels sont les principes vérifiés par une proposition logique ?
1) Pr. de l’identité : P = P
2) Pr. de la non-contradiction : P est soit vraie, soit fausse.
3) Pr. du tiers-exclue : ne peut prendre d’autre valeur que V/F
A l’aide de quels outils relie-t-on les propositions entre elles ?
A l’aide des connecteurs logiques.
Négation d’une proposition.
nier une proposition c’est passer de la définition d’une partie d’un ensemble à son complémentaire.
P Non P
V
Table de vérité de la négation
P Non P
V F
F V
Conjonction de deux propositions : “et”
“et” porte sur deux prop.
P1 ∧ P2 est vrai ssi P1 et P2 sont simultanément vraies
Table de vérité de la conjonction :
P1 P2 P1 ∧ P2
V V V
V F F
F V F
F F F
La disjonction de deux propositions : “ou”
“ou” porte sur deux prop. ou +
P1 ∨ P2 est fausse si P1 et P2 sont simultanément fausses
Table de vérité de la disjonction
P1 P2 P1 ∨ P2
V V V
V F V
F V V
F F F
Implication entre deux propositions
Si P1 alors P2
P1 implique P2
P1 ⇒ P2 est fausse si P1 est vraie et P2 est fausse
Table de vérité de l’implication
P1 P2 P1 ⇒ P2
V V V
F F V
V F F
F V V
P1 ⇒ P2. Qu’est ce qu’une condition nécessaire ?
Il faut que P2 soit vraie pour que P1 soit vraie. P2 est donc une condition nécessaire à P1
P1 ⇒ P2. Qu’est ce qu’une condition suffisante ?
Il suffit que P1 soit vraie pour que P2 soit vraie. P1 est une condition suffisante à P2
Donner deux exemples de cond. nécessaires et suffisantes :
- P1 (ABC est un triangle équilatéral) ⇒ P2 (ABC est un triangle isocèle)
–> P2 est nécessaire : ABC doit être iso pour être équi, et P1 est suffisante : pour qu’ABC soit iso, il suffit qu’il soit équi - théorème de Pythagore :
(ABC triangle rectangle) ⇒ (AB² = AC² + CB²)
–> P2 est nécessaire à P1 : doit valider cette condition pour être rectangle. P1 est suffisant à P2 : il suffit d’être rectangle pour la valider.
L’équivalence entre deux propositions
P1 ⇔ P2 vraie si P1 et P2 possèdent simultanément la même valeur logique de vérité
La table de vérité de l’équivalence
P1 P2 P1⇔P2
V V V
F F V
V F F
F V F
¬(¬P) = …
P
commutativité : (P ∨ Q) = …
(P ∧ Q ) =…
(Q ∨ P)
(Q ∧ P)
associativité :
(P ∨ Q) ∨ R = …
(P ∧ Q) ∧ R = …
P ∨ (Q ∨ R)
P ∧ ( Q ∧ R)
Si Q est fausse, alors P est équivalent à (P ou Q). Pourquoi ?
P est vraie implique (P ou Q) vraie.
Réciproquement, si (P ou Q) est vraie, cela veut dire que P est vraie puisque Q est fausse.
Ex : (n est pair) est équivalent à ( (n est impair) ou (10 est impair) )
Si P est toujours fausse alors : P ⇒ Q = …
P
¬ (P ∨ Q) =
(¬P) ∧ (¬Q)
¬ (P ∧ Q)
(¬P) ∨ (¬Q)
quelle est la contraposée de : P ⇒ Q ?
¬Q ⇒ ¬P
Qu’est ce que les quantificateurs ?
permettent de préciser le domaine de validité d’une proposition donnée
Comment nier :
(∀x appartenant à E, P(x)) ?
(∃x appartenant à E, non P(x))
Comment nier :
(∃x appartenant à E, P(x))
(∀x appartenant à E, non P(x))
Comment nier :
(∃! x appartenant à E, P(x))
D’abord nier l’existence :
(∀x appartenant à E, non P(x))
Puis l’unicité :
(∃x,y appartenant à E, avec x distinct de y, P(x) et P(y))
Raisonnement direct :
partir d’une affirmation et par une suite d’étapes parvenir à l’affirmation de fin que l’on souhaite
Raisonnement de la contraposée :
P implique Q
devient :
Non Q implique non P,
ce qui est parfois + facile à démontrer.
Raisonnement par disjonction des cas
traiter tous les cas possibles
Qu’est ce que le complémentaire d’un ensemble ?
Soit A inclus dans E.
On appelle complémentaire de A dans E le sous ensemble formé de tous les x n’appartenant pas à A.
Raisonnement par l’absurde
beaucoup utilisé pour démontrer l’unicité
Qu’est ce qu’un ensemble vide ?
un ensemble qui ne contient aucun élément.
L’ensemble vide appartient à tous les ensembles.
Comment montrer une égalité entre deux ensembles ?
on utilise la double inclusion :
E ⊆ F
F ⊆ E
on en déduit : F = E
Intersection de deux ensembles :
A ∩ B : formé des x appartenant simultanément à A et à B.
(∀x appartenant à A ∩ B) ⇒ (x appartient à A) ET (x appartient à B)
Union de deux ensembles :
A U B : formé de x des deux ensembles.
∀x appartenant à A U B) ⇒ (x appartient à A) OU (x appartient à B)
Qu’est ce que le cardinal de E ?
nb d’éléments de l’ensemble
Qu’appelle-t-on P(E) ?
l’ensemble formé par toutes les parties possibles de E.
Qu’est-ce qu’une relation ?
Notée R, avec R inclus dans E x E, on dit que x et y sont liés par R si (x,y) appartient à R. On l’écrit : xRy
Qu’est ce qu’une relation d’équivalence ?
relation vérifiant les props. suivantes :
1) Réflexive : (x,x) appartient à R.
2) Symétrique : (x,y) E à R implique (y,x) E à R
3) Transitive : ((x,y) E à R et (y,z) E à R) implique : (x,z) E à R
A inclus dans B équivalent à
C(B) inclus dans C(A)
C(C(A)) =
A
C ( A ∩ B) =
C(A) U C(B)
C ( A union B) =
C(A) ∩ C(B)
