chap. 9 : équations différentielles

Question 1

équation différentielle :

Answer 1

relation entre les dérivées successives d’une fonction inconnue y(t)

Question 2

équa diff d’ordre n :

Answer 2

les n premières dérivées interviennent dans l’équation.

Question 3

forme des solutions + conséquence ?

Answer 3

l’ensemble des solu forme une courbe, ce qui implique qu’il n’y a pas d’unicité de solution

Question 4

Comment faire pour obtenir une unique solution ?

Answer 4

on impose à y(t) de passer par un point particulier à un instant t0 donné = on rajoute une condition initiale : y(t0) = y0
Situation d’un problème de Cauchy, qui admet une unique solution, qui dépend d’une constante, que l’on fixe.

Question 5

équation linéaire du 1er ordre, équa. homogène ssm :

Answer 5

y’(t) = y(t) x a(t)
t ∈ I, ouvert de R
a(t) fonction définie et continue sur I

Question 6

équation linéaire du 1er ordre, équa. homogène ssm : solution :

Answer 6

yh(t)=Cxe^(A(t))
où A(t) est la primitive de a(t)

Question 7

Problème de Cauchy dans le cas de l’équation linéaire du 1er ordre, équa. homogène ssm : solution unique :

Answer 7

yc(t) = y0 x exp (intégrale de t à t0 de a(x)dx)

Question 8

Pourquoi est-ce que l’équation est dite linéaire ?

Answer 8

parce que si y1 et y2 sont solution de l’Eh, alors toute combinaison linéaire αy1 + βy2 est solu de l’Eh

Question 9

Equation non-homogène d’ordre 1 :

Answer 9

y’(t) = a(t) x y(t) + b(t)
avec a et b continues sur I

Question 10

solu générale de l’équation non-homogène d’ordre 1

Answer 10

y = yp + yh

Question 11

méthode de la variation de la constante :

Answer 11

chercher une solution particulière de la même forme de la solution de l’EHA mais en considérant “c” une fonction supposée dérivable sur I.
On remplace ensuite dans l’expression :
y’(t) = a(t) x y(t) + b(t)

Question 12

fonction fraction rationnelle :

Answer 12

P(X) / Q(X)
P ∈ R [X] et Q ∈ R[X]

Question 13

degré de P/Q ?

Answer 13

deg(P) - deg(Q)

Question 14

Notation de la fonction fraction rationnelle avec la partie entière :

Answer 14

P/Q = E+ P1/Q
(E, P1) = quotient, reste de la division euclidienne.
si deg(P/Q) = 0 ⇒ E = 0

Question 15

que signifie chercher les pôles de P / Q ?

Answer 15

chercher les racines de Q ( du déno)

Question 16

qu’est-ce qu’un pôle ?

Answer 16

α est un pôle de F de multiplicité m lorsque α est une racine de multiplicité m de Q
.

Question 17

dans le cas où Q admet un pôle complexe complexe p d’ordre n :

Answer 17

• son conjugué est également un pôle de
• dans R(X), on obtient des éléments simples de seconde espèce = (aX² + bX +c)^k

Question 18

éq. d’ordre 1 à coeff constant :

Answer 18

y’ (t) = y(t) x a + b(t)

Question 19

solu de l’éq à coeff constant ?

Answer 19

solu homogène classique
solu particulière selon la forme de b(t)

Question 20

éq. coeff constant : b(t) = P(t)

Answer 20

fonction polynôme de degré n :
- si a non nul : yp = fction polynôme de degré n
- si a nul : yp = fction polynôme de degré n+1

Question 21

éq. coeff constant : b(t) = βe^αt

Answer 21

• α ≠ a : yp = Ke^αt
• α = a: yp = φ(t) : on utilise la MVC

Question 22

éq. coeff constant : b(t) = C1cos(wt) + C2sin(wt)

Answer 22

yp=Acos(wt) + Bsin(wt)

Question 23

cas général problème de cauchy :

Answer 23

on note Pc les conditions suivantes :
- y’ = a(t) x y + b(t)
- y(t0) = y0
si a et b = continues, alors Pc admet une unique solu de la forme :
y(t) = y0e^(A(t) - A(t0)) + int. de t0 à T de e^A

Question 24

formule sh(x) :

Answer 24

(e^x - e^-x) / 2

Question 25

de quelle classe sont sh et ch ?

Answer 25

C∞ sur R

Question 26

formule ch(x)

Answer 26

(e^x + e^-x) / 2

Question 27

ch’(x) :

Answer 27

sh(x)

Question 28

sh’(x) :

Answer 28

= ch(x)

Question 29

ch²(x) - sh²(x) =

Answer 29

1

Question 30

parité de ch ?

Answer 30

paire

Question 31

parité de sh ?

Answer 31

impaire

Question 32

sh(x) comprise entre ?

Answer 32

0 < sh(x) < +∞, croissante

Question 33

ch(x) comprise entre ?

Answer 33

1 < ch(x) < +∞, croissante

Question 34

th(x) :

Answer 34

sh(x) / ch(x)
= ( e^x - e^-x) / (e^x + e^-x)
C∞ sur R

Question 35

dérivée de th(x) ?

Answer 35

1 / ch²(x) = 1 - th²(x) > 0

Question 36

parité de th(x) :

Answer 36

impaire

Question 37

justification sh bijective :

Answer 37

strictement croissante –> injective
de R dans ImR =R –> surj

Question 38

argsh :

Answer 38

y = argsh(x) , x dans R
alors :
x = sh(y)
CONTINUE

Question 39

dérivée de argsh :

Answer 39

1 / sh’(argsh(x))
= 1 / ch(argsh(x))
= 1 / sqrt (1 + x²)

Question 40

arg(sh(x)) =

Answer 40

ln ( x + sqrt(1+x²))

Question 41

justification ch bijective :

Answer 41

étude de ch sur [0; ∞[ dans [1, +∞[
ch’(x) = sh(x) > 0 donc croissante : inj
(ch) bijective de [0, +∞[ dans [1, +∞[

Question 42

domaine de définition de argch :

Answer 42

[1, +∞[ dans [0, ∞[
dérivable sur ]1, +∞[

Question 43

arg(ch) ‘ :

Answer 43

pour tout x diff de 1 :
1 / ch’(argch)
1 / sh(arch)
1 / sqrt x² -1

Question 44

justification th bijective :

Answer 44

strictement décroissante: inj
de R dans ImR : surj.

Question 45

domaine de définition de argth :

Answer 45

]-1; 1[
comme th dérivable et non nulle sur tout R : argth dérivable sur tout R

Question 46

arg th ‘ :

Answer 46

pour tout x dans ]-1, 1[:
1 / th’(argth)
1 / 1-th²(argth)
= 1 / 1-x² > 0