chap. 9 : équations différentielles Flashcards
équation différentielle :
relation entre les dérivées successives d’une fonction inconnue y(t)
équa diff d’ordre n :
les n premières dérivées interviennent dans l’équation.
forme des solutions + conséquence ?
l’ensemble des solu forme une courbe, ce qui implique qu’il n’y a pas d’unicité de solution
Comment faire pour obtenir une unique solution ?
on impose à y(t) de passer par un point particulier à un instant t0 donné = on rajoute une condition initiale : y(t0) = y0
Situation d’un problème de Cauchy, qui admet une unique solution, qui dépend d’une constante, que l’on fixe.
équation linéaire du 1er ordre, équa. homogène ssm :
y’(t) = y(t) x a(t)
t ∈ I, ouvert de R
a(t) fonction définie et continue sur I
équation linéaire du 1er ordre, équa. homogène ssm : solution :
yh(t)=Cxe^(A(t))
où A(t) est la primitive de a(t)
Problème de Cauchy dans le cas de l’équation linéaire du 1er ordre, équa. homogène ssm : solution unique :
yc(t) = y0 x exp (intégrale de t à t0 de a(x)dx)
Pourquoi est-ce que l’équation est dite linéaire ?
parce que si y1 et y2 sont solution de l’Eh, alors toute combinaison linéaire αy1 + βy2 est solu de l’Eh
Equation non-homogène d’ordre 1 :
y’(t) = a(t) x y(t) + b(t)
avec a et b continues sur I
solu générale de l’équation non-homogène d’ordre 1
y = yp + yh
méthode de la variation de la constante :
chercher une solution particulière de la même forme de la solution de l’EHA mais en considérant “c” une fonction supposée dérivable sur I.
On remplace ensuite dans l’expression :
y’(t) = a(t) x y(t) + b(t)
fonction fraction rationnelle :
P(X) / Q(X)
P ∈ R [X] et Q ∈ R[X]
degré de P/Q ?
deg(P) - deg(Q)
Notation de la fonction fraction rationnelle avec la partie entière :
P/Q = E+ P1/Q
(E, P1) = quotient, reste de la division euclidienne.
si deg(P/Q) = 0 ⇒ E = 0
que signifie chercher les pôles de P / Q ?
chercher les racines de Q ( du déno)
qu’est-ce qu’un pôle ?
α est un pôle de F de multiplicité m lorsque α est une racine de multiplicité m de Q
.
dans le cas où Q admet un pôle complexe complexe p d’ordre n :
- son conjugué est également un pôle de
- dans R(X), on obtient des éléments simples de seconde espèce = (aX² + bX +c)^k
éq. d’ordre 1 à coeff constant :
y’ (t) = y(t) x a + b(t)
solu de l’éq à coeff constant ?
solu homogène classique
solu particulière selon la forme de b(t)
éq. coeff constant : b(t) = P(t)
fonction polynôme de degré n :
- si a non nul : yp = fction polynôme de degré n
- si a nul : yp = fction polynôme de degré n+1
éq. coeff constant : b(t) = βe^αt
- α ≠ a : yp = Ke^αt
- α = a: yp = φ(t) : on utilise la MVC
éq. coeff constant : b(t) = C1cos(wt) + C2sin(wt)
yp=Acos(wt) + Bsin(wt)
cas général problème de cauchy :
on note Pc les conditions suivantes :
- y’ = a(t) x y + b(t)
- y(t0) = y0
si a et b = continues, alors Pc admet une unique solu de la forme :
y(t) = y0e^(A(t) - A(t0)) + int. de t0 à T de e^A
formule sh(x) :
(e^x - e^-x) / 2
de quelle classe sont sh et ch ?
C∞ sur R
formule ch(x)
(e^x + e^-x) / 2
ch’(x) :
sh(x)
sh’(x) :
= ch(x)
ch²(x) - sh²(x) =
1
parité de ch ?
paire
parité de sh ?
impaire
sh(x) comprise entre ?
0 < sh(x) < +∞, croissante
ch(x) comprise entre ?
1 < ch(x) < +∞, croissante
th(x) :
sh(x) / ch(x)
= ( e^x - e^-x) / (e^x + e^-x)
C∞ sur R
dérivée de th(x) ?
1 / ch²(x) = 1 - th²(x) > 0
parité de th(x) :
impaire
justification sh bijective :
strictement croissante –> injective
de R dans ImR =R –> surj
argsh :
y = argsh(x) , x dans R
alors :
x = sh(y)
CONTINUE
dérivée de argsh :
1 / sh’(argsh(x))
= 1 / ch(argsh(x))
= 1 / sqrt (1 + x²)
arg(sh(x)) =
ln ( x + sqrt(1+x²))
justification ch bijective :
étude de ch sur [0; ∞[ dans [1, +∞[
ch’(x) = sh(x) > 0 donc croissante : inj
(ch) bijective de [0, +∞[ dans [1, +∞[
domaine de définition de argch :
[1, +∞[ dans [0, ∞[
dérivable sur ]1, +∞[
arg(ch) ‘ :
pour tout x diff de 1 :
1 / ch’(argch)
1 / sh(arch)
1 / sqrt x² -1
justification th bijective :
strictement décroissante: inj
de R dans ImR : surj.
domaine de définition de argth :
]-1; 1[
comme th dérivable et non nulle sur tout R : argth dérivable sur tout R
arg th ‘ :
pour tout x dans ]-1, 1[:
1 / th’(argth)
1 / 1-th²(argth)
= 1 / 1-x² > 0
