Capitolo 7

Question 1

def. integrali impropri

Question 2

esempi di funzioni continue in intervalli limitati non chiusi

Answer 2

[a, b) ; (a,b) ; [a,b]\x0

Question 3

th del confronto (intervalli limitati aperti) dim

Answer 3

considero le funzioni integrali, so che l’integrale di f(x)=sup F(x) …
se f<g allora anche F<G, vado alle considerazioni.

Question 4

corollario convergenza assoluta (intervalli limitati aperti) dim

Answer 4

quando parlo di convergenza assoluta c’è sempre modulo di mezzo, dim grazie a parte positiva e parte negativa della funzione che sono per definizione maggiore di zero e la loro sottrazione da vita alla funzione.
Per creare invece la funzione modulo utilizzo la loro somma quindi la funzione modulo intera sarà maggiore di entrambe. Se la funzione modulo converge per il th del confronto anche loro convergono, quindi visto che danno vita alla funzione anche quella converge.

Question 5

condizione sufficiente per la convergenza dim

Answer 5

devo dimostrare prima che è limitata grazie alla definizione di limite, poi che grazie al th di Weierstrass che è limitata tra il suo min e il suo max quindi che è convergente.

Question 6

th criterio del confronto asintotico (intervalli limitati aperti) dim

Answer 6

comanda funzione sotto, la dimostrazione che utilizzo per tutte e tre applica la definizione di limite (da considerare anche gamma particolare che crea degli intervalli) poi applico confronto.

Question 7

esempi di funzioni continue in intervalli illimitati

Question 8

th del confronto (intervalli illimitati) dim da esame

Answer 8

uguale a quello con intervalli limitati aperti.

Question 9

th condizione necessaria alla convergenza dim

Answer 9

dim per assurdo che il limite non è nullo ma tende ad L:
2 casi
L>0 applico la definizione di limite con epsilon L/2, se l’integrale di L/2 diverge anche quello di f(x) quindi per definizione anche f(x) diverge (da b a inf) quindi anche f(x) diverge da a a inf (contraddice ipotesi.
Stessa cosa con L<0 ma al contrario ponendo g(x)=-f(x)

Question 10

th convergenza assoluta (intervalli illimitati)

Answer 10

c’entra sempre il valore assoluto, identica al caso degli intervalli limitati aperti

Question 11

th del confronto asintotico (intervalli illimitati) dim da esame

Answer 11

comanda quello sotto, identico ad intervalli limitati aperti.