Capitolo 4

Question 1

def. funzione continua

Answer 1

f(x) = f(x0) con x –> x0

Question 2

prop. caratterizzazione sequenziale f continua

Answer 2

quando parliamo di caratterizzazione sequenziale parliamo sempre in termini di successioni

Question 3

prop. f(x) è continua in un punto se e solo se lo sono i limiti laterali a quel punt0

Answer 3

per la dimostrazione si utilizza la definizione di limite laterale

Question 4

le funzioni elementari sono continue nei loro domini per definizione, dim

Answer 4

e^x, loga(x), a^x, x^alfa

Question 5

le funzioni trigonometriche sono continue nel loro dominio

Answer 5

faccio il limite di sin(x) che è uguale a lim sin(x-x0+x0) e utilizzo la formula di addizione trigonometrica e risolvo, stessa cosa per il cose, a questo punto ottengo che il limite iniziale è uguale a sin(x0) cioè è continua.

Question 6

la funzione modulo di |x| è continua in R

Answer 6

la dimostrazione avviene utilizzando la disuguaglianza triangolare sia per x che per x0, utilizzando il confronto viene che lim |x|= |x0|

Question 7

algebra dei limiti finiti, se f e g sono definite ell’intervallo I con al più escluso X0 appartenente a I allora siano f e g due funzioni continue in x0 lo sono anche f+g, f*g, f/g

Answer 7

la dimostrazione avviene dalla definizione di limite e dall’algebra dei limiti delle funzioni

Question 8

th continuità della funzione composta

Answer 8

dim utilizza il teorema di caratterizzazione sequenziale del limite, imparare.

Question 9

def di discontinuità

Answer 9

eliminabile, prima specie e seconda specie

Question 10

th esistenza degli zeri

Answer 10

dim con metodo di bisezione che continua fino a mettere la n al posto del numero , suppongo 3 casi, se la 1 non è verificata andiamo avanti fino a creare sottoinsieme sempre più stretti.
Alla fine avendo due successioni utilizzo la permanenza del segno.

Question 11

th dei valori intermedi 1

Answer 11

dim grazie a disegno definisco f(a) e f(b) a quel punto se y0=f(a) allora x0=a ed è risolta (stessa cosa per fb.
Quindi suppongo che yo è compresa tra fa e fb.
alla fine uso teorema esistenza degli zeri

Question 12

th dei valori intermedi 2

Answer 12

pongo inf e sup come l e L. Poiché non è costante l<L, io devo dimostrare che ogni y0’ che appartiene ad (l, L) esiste un f(x0)=y0.
poiché y0> l …
poiché y0< L …

Question 13

th dei valori intermedi 3

Answer 13

no dim

Question 14

th di Weierstrass

Answer 14

dim copiare, capire, troppe lettere

Question 15

th continuità delle f monotone

Answer 15

dim (quando ho doppia implicazione le devo dimostrare entrambe)
-> dal th di Weiestrass e da quello dei valori intermedi 3
<–

Question 16

th invertibilità della f continua

Answer 16

dimostro entrambe le frecce
<– si dimostra dalla definizione di funzione strettamente monotona crescente/decrescente
–> suppongo che sia iniettiva ma per assurdo non strettamente monotona. e che esistano x1, x2, x3 (a,b) tale che…
in modo tale da verificare che f(x0) e f(x1) non iniettiva, quindi si contraddice ipotesi iniziale, quindi è strettamente monotona.

Question 17

th continuità della f inversa

Answer 17

dim, utilizzo il fatto che per ipotesi è iniettiva, quindi dal th precedente è strettamente monotona, poi visto che è invertibile scopro l’inversa e anche essa è una funzione monotona …