Capitolo 2

Question 1

def successione numerica

Answer 1

è una legge che ad ogni n fa corrispondere uno e un solo an

Question 2

se |a|<ε ∀ε>0 allora a>0 Dimostrazione

Answer 2

suppongo che anche b=|a| appartiene all’insieme A, sia diverso e maggiore di zero.
Dalla definizione dell’insieme A so che b<ε>0, ora pongo ε=b/2... sostituendo e calcolando esce che b/2<0 quindi b<0, contraddizione di ipotesi iniziale.</ε>

Question 3

th unicità del limite + dim

Answer 3

suppongo che il limite non sia unico, ma che ce ne siano due, in questo modo applico la definizione di limite, ponendo pero ε=L-L’/3 > 0.
Quando vado a sostituire applico la disuguaglianza triangolare in modo tale che alla fine viene ε<0 e viene contraddetta l’hp iniziale.

Question 4

lim 1/n =0

Answer 4

utilizzo la proprietà archimedea, supponendo che ε>0 e che 1/ε<N (che appartiene ai numeri naturali).
Sapendo però che n>N>1/ε risolvo e trovo che 1/n<ε

Question 5

lim a^n=0 quando 0<a<1

Answer 5

utilizzo b^n e Bernoulli (capire meglio)

Question 6

lim(-1)^n non esiste

Answer 6

suppongo che esista, applico la definizione di limite e prima definisco che n sia pari ed esce che il limite è 1, mentre quando suppongo che n sia dispari esce che il limite è -1, quindi si contraddice l’unicità del limite.

Question 7

lim a^n=0 se -1<a<1

Answer 7

ho già dimostrato che se a appartiene a (0,1) è 0, dimostro che se a appartiene a (-1,0) lo è. Ma qui basta dice che -a appartiene a (0,1) e applico lo stesso risultato di prima.

Question 8

an è infinitesima se e solo se |an | è infinitesima + dim

Answer 8

sugg: pongono |an| = bn

Question 9

th ogni successione convergente è limitata dim

Answer 9

applico la definizione di limite, ponendo pero ε=1, in modo tale che an sia compresa tra L-1 e L+1

Question 10

sia an una successione infinitesima e bn una successione limitata allora il loro prodotto sarà una successione infinitesima

Answer 10

suppongo che per definizione, visto che è una succ limitata è bn<M, mentre dalla definizione di limite so che an<ε/M.
Applico il prodotto tra i due e poi ε/M*M=ε

Question 11

algebra dei limiti finiti con dimostrazioni

Answer 11

somma prodotto e divisione
Nella divisione c’è il caso di b diverso da zero (e > e < di 0)
e il caso di a=0 e a diverso da 0

Question 12

definizione di convergente, divergente, regolare, indeterminta

Question 13

lim n= infinito

Answer 13

Utilizzo la proprietà archimedea, quindi fisso M>0 e sapendo che esisterà sempre un N maggiore della M, ma n è maggiore di N quindi n maggiore di M si è verificato

Question 14

lim n^p= infinito

Answer 14

utilizzo anche qui la prop archimedea, in modo tale che fisso M>0 quindi anche M^1/p> 0 e continuo sapendo che c’è sempre una N maggiore della M… continuo fino a verificare che n^p>M

Question 15

th algebra dei limiti infiniti, elencare tutti i casi!!!!!

Question 16

def. Segno del limite

Answer 16

an>a + da sopra, an<a - da sotto

Question 17

forme indeterminate

Answer 17

+∞-∞ ; +-∞0 ; 0/0 ; +-∞/+-∞ ; 0^0 ; 1^ +-∞ ; ∞^0 ; 0^∞

Question 18

Th della permanenza del segno

Answer 18

dim: metto ε=a/2 e calcolo

Question 19

Th confronto tra successioni finite

Question 20

sia Xn una successione infinitesima allora il limsin(Xn)=0 dimostrazione

Question 21

sia Xn una successione infinitesima allora il lim cos(Xn)=1 dimostrazione

Question 22

Th confronto successioni infinite dimostrazione

Answer 22

anche qui la dimostrazione viene posta con M>0.
se an>M (quindi an tende a infinito) allora ho che bn>an>M anche bn>M quindi tende a più infinito.
Stessa cosa con bn<-M ….

Question 23

def. successione monotona

Question 24

Th di regolarità della succ monotona

Answer 24

Ogni succ monotona è regolare, se crescente il lim di an tende a sup, se è decrescente il lim di an tende a inf.
La dimostrazione la risolvo supponendo che an sia sup limitata, quindi che supan=m e che an<m.
Per questo motivo dal th di caratterizzazione dell’estremo sup so che an<m<m+ε stessa cosa per an>m-ε, le unisco ecc