Capitolo 5

Question 1

def. derivata

Question 2

th continuità funzione derivabile dim

Answer 2

applico def limite f continue e faccio il limite di f(x)-f(x0) che è 0. così è continua in x0.

Question 3

f(x)=|x| non è derivabile in x0=0 (punto angoloso)

Answer 3

dim applicando la definizione di limite e di limiti laterali

Question 4

f(x)=√|x| non è derivabile in x0=0 (cuspide)

Answer 4

dim

Question 5

f(x)=3√x non è derivabile in x0=0 (tg verticale)

Question 6

def. funzioni non derivabili

Answer 6

punto angoloso, cuspide e punto a tg verticale

Question 7

def. formula di Taylor primo ordine

Question 8

th del differenziale

Answer 8

doppia implicazione
–> applico la definizione di derivata e uso algebra dell’o piccolo
<– possiamo scrivere la formula della derivata sostituendo con le info delle ipotesi (al posto di f(x) -f(x0) metto A…)

Question 9

Regole di derivazione più dimostrazione

Answer 9

dimostrazione per somma prodotto e divisione, utilizzando la definizione di funzione derivabile e sostituendo le info.
per il prodotto utilizzo la sostituzione di f(x)g(x) con i due sviluppi di Taylor di primo ordine.

Question 10

th derivazione della funzione composta e inversa

Answer 10

composta:
-applico lo sviluppo di taylor per f(x) e per g(y).
-unisco la funzione composta g(f(x)) in modo da formare un unico sviluppo di Taylor.
-ottengo che A=g’(f(x0))f’(x0)

Question 11

def. max e min relativi

Question 12

th di Fermat

Answer 12

dim grazie a grafico, trovo intervallo più piccolo, e considero la parte dx crescente e sx decrescente, quindi la prima ha la derivata maggiore di zero e la seconda minore. Quindi in x0 la derivata è 0.

Question 13

teorema di Rolle

Answer 13

f(a)=f(b) allora f’(x0)=0
Poichè so che è continua allora dal th di Weierstrass so che esistono un minimo e un massimo relativi (disequazione).
A questo punto se conosco l’esistenza di max e min applico il th di Fermat (la derivata di max e minimo è zero)

se xm=xM … sostituisco in dis
se xm diverso da xM … per hp per forza uguali…

Question 14

teorema di Lagrange

Answer 14

[f(b)-f(a)]/b-a = f’(x0) capire

Question 15

th caratterizzazione delle f costanti

Answer 15

doppia implicazione
–> già dimostrato che se una funzione è costante allora la sua derivata è =0
<– devo dimostrare che f(a) = f(x), vado a sostituire nella formula di Lagrange (che viene 0) quindi …

Question 16

th criterio di monotonia

Answer 16

se crescente allora derivata maggiore di zero, se decrescente derivata è minore di zero

Question 17

th criterio di convessità 1

Answer 17

derivata prima crescente
dimostrazione doppia implicazione
–> devo dimostrare che è crescente, parto con il supporre cche x1<x2, vado quindi a completare due sviluppi di taylor dove
f(x) > f(x1) …
f(x) < f(x2)…
vado a sostituire x=x2 nella prima e x=x1 nella seconda, risolvo la dis per f’(x1) e f’(x2) per dimostrare che f’(x1)<f’(x2) quindi che è crescente

<– guardare meglio ma dimostro con Lagrange

Question 18

th criterio di convessità 2

Answer 18

derivata seconda maggiore uguale di zero la dimostrazione è scontata e la divido in due parti dal criterio di convessità n1 dico che è crescente e se è crescente allora la derivata seconda è maggiore di zero.

Question 19

th di Cauchy

Answer 19

siano f(x) e g(x) due funzioni continue e derivabili in (a,b), se g’(x) è diversa da zero. Per ogni x appartenente a (a,b) esiste un x0 tale che: f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f’(x0)/g’(x0)

dimostrazione: definisco la funzione F(x)=f(x)[g(b)-g(a)]-g(a)[f(b)-f(a)], risolvo F(a) e F(b) e vedo che sono uguali, quindi dal teorema di Rolle F’(x)=0

Question 20

th di De l’Hopital dim copiare

Answer 20

le la frazione delle derivate tende a l allora anche le funzioni originali tendono a l(solo per forme ind. 0/0 e ∞/∞

Question 21

uguaglianza condizionata

Question 22

criterio di esistenza della derivata

Answer 22

dimostrazione capire

Question 23

th incrementi finiti

Question 24

th di Taylor (+ sviluppo di Taylor con resto di Peano)

Answer 24

dimostrazione copiare

Question 25

formula di Mc Lauren