Capitolo 1 Flashcards
L’elemento neutro della somma è unico
suppongo che esista anche z come elemento neutro tale che a+z=z ma anche lo 0 è elemento neutro, quindi 0+z=0 e z+0=z quindi per la proprietà commutativa z=0
L’elemento neutro del prodotto è unico
stesso procedimento di elemento neutro somma
Se a+b=c+b allora a=c
uso proprietà dell’esistenza dell’opposto (-b) e lo aggiungo sia a dx che a sx dell’uguale, dopodichè so che l’opposto di un numero sommato a se stesso =0 quindi vanno via e rimane a=c
a*(-1)= -a
parto da a=a1 e aggiungo da entrambe le parti a(-1) e calcolo
Th Esistenza dell’estremo sup e inf con annesse dimostrazioni
suppongo che A sia un insieme non vuoto e sup limitato, ciò significa che esiste B insieme dei maggioranti che non è vuoto (visto che A è sup limitato).
a<b uso assioma di completezza e aggiungo c.
Proprietà Archimedea
Principio di induzione
Disuguaglianza di Bernoulli
(1+x)^n > (1+nx)
Progressione geometrica
(1-x^n+1)/1-x
Identità di Gauss
n(n+1)/2
definizione di maggiorante e minorante
definizione di max e min e dimostrazione della loro unicità (per assurdo)
a*0=0
dimostro utilizzando a1+a0=a+(a*0), usando diverse proprietà come quella associativa fine dimostrazione
non esiste alcun c appartenente a Q tale che c^2=2
suppongo che c>0, c^2=2, per la def di numero irrazionale so che c=m/n, supponendo che m e n non siano entrambi pari…
mi vengono entrambi pari
se il massimo esiste è il più piccolo dei maggioranti, idem per minorante.
suppongo che esista un maggiorante più piccolo di quello che già ho M, ma se entrambi appartengono all’insieme A per forza di cose avrò che dalla def di Maggiorante esso è più grande di qualsiasi elemento di A quindi anche di M. si contraddice l’ipotesi iniziale.
